近世代数理论基础32：有限域

有限域

由有限个元组成的域称为有限域,又称为伽罗瓦域

整数模p的剩余类环 $F_p=\Z_p$ 是一个有p个元的有限域

显然,任一有限域F包含的素域一定是 $F_p$ ,而不可能是 $\Q$

F是 $F_p$ 的一个有限扩张,因而 $\exists n\in Z_+$ ,F可看作 $F_p$ 上的一个n维向量空间

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$ 是F在 $F_p$ 上的一组基,则F中每个元可唯一表成

$c_1\alpha_1+c_2\alpha_2+\cdots+c_n\alpha_n,c_1,c_2,\cdots,c_n\in F_p$

F中恰有 $p^n$ 个元

定理：任一有限域的元个数为素数方幂,即任一有限域的特征一定是素数,若特征是p,则这个有限域是 $F_p$ 的有限扩张,若扩张次数为n,则这个有限域的元个数为 $p^n$

注： $F_q$ 或 $GF(q)$ 表示含有q个元的有限域,其中q一定是素数的方幂

例：

1. $f(x)=x^2+x+1$ 是 $F_2[x]$ 中的2次不可约多项式,故 $F_4=F_2[x]/(f(x))$ 是一个含有4个元的域

以 $\alpha$ 表示 $f(x)$ 的一个根,则 $F_4$ 中四个元为 $0,1,\alpha,1+\alpha$

$F_4$ 上的加法运算表为

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 0&0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 1&1&0&1+\alpha&\alpha\\ \hline \alpha&\alpha&1+\alpha&0&1\\ \hline 1+\alpha&1+\alpha&\alpha&1&0\\ \hline\end{array}$

$F_4$ 上的乘法运算表为

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline &0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline 0&0&0&0&0\\ \hline 1&0&1&\alpha&1+\alpha\\ \hline \alpha&0&\alpha&1+\alpha&1\\ \hline 1+\alpha&0&1+\alpha&1&\alpha\\ \hline\end{array}$

2.设 $f(x)=x^2+2x+2\in F_3[x]$ , $f(x)$ 在 $F_3$ 上没有根,故 $f(x)$ 是 $F_3$ 上的不可约多项式

$F_9=F_3[x]/(f(x))$ 是一个含有9个元的域

以 $\alpha$ 表示 $f(x)$ 的一个根,则 $F_9$ 中9个元为

$0,1,2,\alpha,1+\alpha,2+\alpha,2\alpha,2\alpha+1,2\alpha+2$

由多项式环 $F_3[x]$ 中模 $f(x)$ 的剩余类环 $F_3[x]/(f(x))$ 的运算法则,可得 $F_9$ 的加法运算表和乘法运算表

如 $(1+2\alpha)\cdot (2+2\alpha)$

$=2+2\alpha+4\alpha+4\alpha^2=2+\alpha^2=\alpha$

设 $F_q=\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_q\}$ 是有q个元的有限域,其中 $q=p^n$ 是一个素数方幂

$F_q$ 的全体非零元组成一个阶为 $q-1$ 的乘法群,故 $F_q$ 的任一非零元是 $x^{q-1}-1$ 的根

即 $F_q$ 的q个元都是 $f(x)=x^q-x$ 的根

$f’(x)=qx^{q-1}-1=-1$ ,故 $f(x)$ 没有重根

$F_q$ 即 $f(x)$ 在 $F_p$ 上的分裂域

$F_q$ 一定存在,且在同构意义下唯一

定理： $\forall 素数p,\forall n\in Z_+$ ,含有 $p^n$ 个元的域一定存在,且在同构意义下唯一

注：有限域 $F_q$ 的非零元组成的 $q-1$ 阶乘法群 $F_q^*$ 一定是一个循环群

例：

1. $f(x)=x^2+x+1$ 是 $F_2[x]$ 中的2次不可约多项式,以 $\alpha$ 表示 $f(x)$ 的一个根

$F_4^*=\{1,\alpha,1+\alpha\}=\{1,\alpha,\alpha^2\}$

$=\{1,1+\alpha,(1+\alpha)^2\}$

$F_4^*$ 是循环群, $\alpha,1+\alpha$ 是它的生成元

2. $f(x)=x^2+2x+2\in F_3[x]$ 是 $F_3$ 上的不可约多项式,以 $\alpha$ 表示 $f(x)$ 的一个根

$\alpha^2=1+\alpha,\alpha^3=\alpha+\alpha^2=1+2\alpha$

$\alpha^4=\alpha+2\alpha^2=2,\alpha^5=2\alpha$

$\alpha^6=2\alpha^2=2+2\alpha,\alpha^7=2\alpha+2\alpha^2=2+\alpha$

$\alpha^8=2\alpha+\alpha^2=1$

$F_9^*$ 是由 $\alpha$ 生成的8阶循环群

除 $\alpha$ 外, $\alpha^3,\alpha^5,\alpha^7$ 也都是 $F_9^*$ 的生成元

共有 $\varphi(8)=4$ 个生成元( $\varphi$ 为欧拉函数)

定理：任一有限域的非零元组成的乘法群是循环群

证明：

$F_q的非零元组成阶为h=q-1的乘法群F_q^*$

$将h因子分解为h=\prod\limits_{i=1}^d p_i^{v_i}$

$其中p_i(1\le i\le d)为互不相同的素因子$

$\forall 1\le i\le d,x^{h\over p_i}=1$

$在F_q中最多由h/p_i个解$

$\therefore \exists a_i\in F_q,使a_i^{h\over p_i}\neq 1$

$令b_i=a_i^{p_i^{h\over v_i}}$

$显然,b_i^{p_i^{v_i}}=a_i^h=1$

$b_i^{p_i^{v_{i-1}}}=a_i^{h\over p_i}\neq 1$

$\therefore b_i的阶为p_i^{v_i}$

$\because p_1^{v_1},p_2^{v_2},\cdots,p_d^{v_d}互素$

$\therefore b=\prod\limits_{i=1}^d b_i\in F_q^*的阶为h=p_1^{v_1}p_2^{v_2}\cdots p_d^{v_d}$

$\therefore F_q^*是循环群\qquad\mathcal{Q.E.D}$

本原元

循环群 $F_q^*$ 的生成元称为 $F_q$ 的本原元

本原多项式

定义：设 $q=p^n$ , $F_q^*$ 的本原元在 $F_p$ 上的极小多项式称为 $F_q$ 上的(n次)本原多项式

定理：设 $q=p^n$ ,有限域 $F_q$ 是其素域 $F_p$ 的单扩张

证明：

$取\alpha为F_q的本原元$

$则F_q=F_p(\alpha)\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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有限域

本原元

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