不定积分

概念

原函数：设F'(X)=f(x),x \in I，则称

F(x)是区间I上的f(x)的一个原函数。

 原函数必可导，也必连续。

不定积分：设F(x)是f(x)的一个原函数，则称F(x)+C（原函数的通式）为f(x)的不定积分，记作 \int f(x) {\rm d}x = F(x)+C

性质

\int F'(x){\rm d}x = F(x)+C或\int {\rm d}F(x)=F(x)+C

[\int f(x){\rm d}x]'=f(x)或{\rm d}[\int f(x){\rm d }x]=f(x){\rm d}x

\int kf(x){\rm d}x=k\int f(x){\rm d}x 提常数

\int [f(x) \pm g(x)]{\rm d}x = \int f(x){\rm d}x \pm \int g(x) {\rm d}x

基本积分公式

常数与幂函数

\int k{\rm d}x=kx+C

\int x^\alpha {\rm d}x=\frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C \alpha \not = -1

\int \frac{1}{x}{\rm d}x = ln|x|+C

指数函数

\int e^x {\rm d}x=e^x+C

\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{lna}+C

三角函数

\int sin {\rm d}x=-cosx + C

\int cosx{\rm d}x=sinx+C

\int tanx {\rm d}x=\ln|cosx|+C

\int cotx{\rm d}x=ln|sinx|+C

\int secx{\rm d}x=ln|secx+tanx|+C=\int \frac{1}{cosx}{\rm d}x

\int cscx{\rm d}x=ln|cscx-cotx|+C=\int \frac{1}{sinx}{\rm d}x

\int sec^2xv{\rm d}x=tanx+C=\int \frac{1}{cos^2 x}{\rm d}x

\int csc^2x{\rm d}x=-cotx+C=\int \frac{1}{sin^2x}{\rm d}x

\int secxtanx{\rm d}x=secx+C

\int cscxcotx{\rm d}x=-cscx+C

分母含二次项式的函数

\int \frac{1}{a^2-x^2}{\rm d}x=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C

\int \frac{1}{a^2+x^2}{\rm d}x=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C

\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}{\rm d}x=arcsin \frac{x}{a}+C

\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}{\rm d}x=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C

\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}{\rm d}x=ln|x+\sqrt{x^2-a^2} + C

对数函数

\int lnx {\rm d}x=xlnx-x+C

不定积分方法

凑微分（第一类换元法）

变形1：

 x \to ax+b

变形2：

 x^2-a^2,a^2+x^2,a^2-x^2 \to Ax^2+Bx+C,A \not = 1,-1,B \not = 0

变形3：

 操作：\int f(a)·a'{\rm d}x \to k\int f(a){\rm d}a

变形4：

 操作：假分式\to多项式+真分式；真分式\to多个简单真分式相加

 真分式分解：1、分母彻底因式分解；2、看分母的幂次，几次幂就几项：\frac{1}{(ax+b)^2} \to \frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}；3、分子形式一致\to看首项；4、分母是一次项式，分子就是常数，分母是二次项式，分子就是一次项式：\frac{A}{ax+b},\frac{Cx+D}{ax^2+bx+c}

变形5：

 辅助角公式：sinx+cosx=\sqrt 2 sin(x+\frac{\pi}{4})

       sinx-cosx=\sqrt2sin(x-\frac{\pi}{4})

 平方和公式：sin^2x+cos^2x=1

       tan^2x+1=sec^2x

       cot^2x+1=csc^2x

 2倍角公式：1-sin2x=(sinx-cosx)^2

       1+sin2x=(sinx+cosx)^2

 倒数关系：\frac{1}{sinx}=cscx

      \frac{1}{cosx}=sec^x

第二类换元法

三角换元

x^2-a^2 \Leftrightarrow x=asect

 \sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2sec^2t-a^2}=a\sqrt{sec^2t-1}=a\sqrt{tan^2t}=atant

x^2+a^2 \Leftrightarrow x=atant

a^2-x^2 \Leftrightarrow x=asint/acost

无理换元

t=\sqrt[n]{x}

t=\sqrt[n]{ax+b}

t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}

指数换元

t=e^x或e^{-x}

倒代换

t=\frac{1}{x}

分部积分法

\int u{\rm d}v = uv - \int v{\rm d}u

\int uv'{\rm d}x = uv - \int vu'{\rm d}x

口诀：反对幂三指，靠前的函数选作u，靠后的放入d

表格法

导 u u‘ u‘’
积 v‘’ v’ v

1、先定u

2、求导，积分次数

 1）求导、积分次数一致

 2）幂指、幂三求导至0，最后一个积分项为常数C

   三指求导两次

3、画线（u和v‘，u’和v，u‘’和v）

4、标正负（先正后负，正负交替）

5、末项相乘取积分

\int uv''{\rm d}x = uv'-u'v + \int u''v{\rm d}x

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