不定积分

概念

原函数：设 $F'(X)=f(x),x \in I$ ，则称

$F(x)$ 是区间 $I$ 上的 $f(x)$ 的一个原函数。

原函数必可导，也必连续。

不定积分：设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则称 $F(x)+C$ （原函数的通式）为 $f(x)$ 的不定积分，记作 $\int f(x) {\rm d}x = F(x)+C$

性质

$\int F'(x){\rm d}x = F(x)+C$ 或 $\int {\rm d}F(x)=F(x)+C$

$[\int f(x){\rm d}x]'=f(x)$ 或 ${\rm d}[\int f(x){\rm d }x]=f(x){\rm d}x$

$\int kf(x){\rm d}x=k\int f(x){\rm d}x$ 提常数

$\int [f(x) \pm g(x)]{\rm d}x = \int f(x){\rm d}x \pm \int g(x) {\rm d}x$

基本积分公式

常数与幂函数

$\int k{\rm d}x=kx+C$

$\int x^\alpha {\rm d}x=\frac{1}{\alpha +1}x^{\alpha +1}+C$ $\alpha \not = -1$

$\int \frac{1}{x}{\rm d}x = ln|x|+C$

指数函数

$\int e^x {\rm d}x=e^x+C$

$\int a^x{\rm d}x=\frac{a^x}{lna}+C$

三角函数

$\int sin {\rm d}x=-cosx + C$

$\int cosx{\rm d}x=sinx+C$

$\int tanx {\rm d}x=\ln|cosx|+C$

$\int cotx{\rm d}x=ln|sinx|+C$

$\int secx{\rm d}x=ln|secx+tanx|+C=\int \frac{1}{cosx}{\rm d}x$

$\int cscx{\rm d}x=ln|cscx-cotx|+C=\int \frac{1}{sinx}{\rm d}x$

$\int sec^2xv{\rm d}x=tanx+C=\int \frac{1}{cos^2 x}{\rm d}x$

$\int csc^2x{\rm d}x=-cotx+C=\int \frac{1}{sin^2x}{\rm d}x$

$\int secxtanx{\rm d}x=secx+C$

$\int cscxcotx{\rm d}x=-cscx+C$

分母含二次项式的函数

$\int \frac{1}{a^2-x^2}{\rm d}x=\frac{1}{2a}ln|\frac{a+x}{a-x}|+C$

$\int \frac{1}{a^2+x^2}{\rm d}x=\frac{1}{a}arctan\frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}{\rm d}x=arcsin \frac{x}{a}+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}{\rm d}x=ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C$

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}{\rm d}x=ln|x+\sqrt{x^2-a^2} + C$

对数函数

$\int lnx {\rm d}x=xlnx-x+C$

不定积分方法

凑微分（第一类换元法）

变形1：

$x \to ax+b$

变形2：

$x^2-a^2,a^2+x^2,a^2-x^2 \to Ax^2+Bx+C,A \not = 1,-1,B \not = 0$

变形3：

操作： $\int f(a)·a'{\rm d}x \to k\int f(a){\rm d}a$

变形4：

操作：假分式 $\to$ 多项式+真分式；真分式 $\to$ 多个简单真分式相加

真分式分解：1、分母彻底因式分解；2、看分母的幂次，几次幂就几项： $\frac{1}{(ax+b)^2} \to \frac{A}{ax+b}+\frac{B}{(ax+b)^2}$ ；3、分子形式一致 $\to$ 看首项；4、分母是一次项式，分子就是常数，分母是二次项式，分子就是一次项式： $\frac{A}{ax+b},\frac{Cx+D}{ax^2+bx+c}$

变形5：

辅助角公式： $sinx+cosx=\sqrt 2 sin(x+\frac{\pi}{4})$

$sinx-cosx=\sqrt2sin(x-\frac{\pi}{4})$

平方和公式： $sin^2x+cos^2x=1$

$tan^2x+1=sec^2x$

$cot^2x+1=csc^2x$

2倍角公式： $1-sin2x=(sinx-cosx)^2$

$1+sin2x=(sinx+cosx)^2$

倒数关系： $\frac{1}{sinx}=cscx$

$\frac{1}{cosx}=sec^x$

第二类换元法

三角换元

$x^2-a^2 \Leftrightarrow x=asect$

$\sqrt{x^2-a^2}=\sqrt{a^2sec^2t-a^2}=a\sqrt{sec^2t-1}=a\sqrt{tan^2t}=atant$

$x^2+a^2 \Leftrightarrow x=atant$

$a^2-x^2 \Leftrightarrow x=asint/acost$

无理换元

$t=\sqrt[n]{x}$

$t=\sqrt[n]{ax+b}$

$t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$

指数换元

$t=e^x或e^{-x}$

倒代换

$t=\frac{1}{x}$

分部积分法

$\int u{\rm d}v = uv - \int v{\rm d}u$

$\int uv'{\rm d}x = uv - \int vu'{\rm d}x$

口诀：反对幂三指，靠前的函数选作u，靠后的放入d

表格法

导	u	u‘	u‘’
积	v‘’	v’	v

1、先定u

2、求导，积分次数

1）求导、积分次数一致

2）幂指、幂三求导至0，最后一个积分项为常数C

三指求导两次

3、画线（u和v‘，u’和v，u‘’和v）

4、标正负（先正后负，正负交替）

5、末项相乘取积分

$\int uv''{\rm d}x = uv'-u'v + \int u''v{\rm d}x$

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