高等数学(四)不定积分

（一）不定积分的概念与性质

1、原函数

F'(x)=f(x)

2、不定积分的几何意义

不定积分的几何意义就是原函数簇所表示的曲线

3、原函数存在定理

定理1 若f(x)在区间I上连续，则f(x)在区间I上一定存在原函数（ $\int_{a}^{x} f(t) d t$ ）
定理2 若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在区间I上没有原函数

4、不定积分的性质

$\left(\int f(x) d x\right)^{\prime}=f(x)$

$d \int f(x) d x=f(x) d x$

$\int f^{\prime}(x) d x=f(x)+C$
$\int d f(x)=f(x)+C$

$\int[f(x)+g(x)] d x=\int f(x) d x+\int g(x) d x$

5、不定积分的基本公式

只列举几个

$\int \frac{d x}{x^{2}-a^{2}}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$
$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}+a^{2}}\right)+C$
$\int \frac{d x}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}=\ln \left(x+\sqrt{x^{2}-a^{2}}\right)+C$
$\int \frac{d x}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a} \arctan \frac{x}{a}+C$

$\int \sec x d x = \ln | \sec x + \tan x | + C$
$\int \csc x d x = - \ln | \csc x + \cot x | + C$

（二）三种主要积分法

1、第一类换元法

若 $\int f(u) d u=F(u)+C$
则 $\int f[\varphi(x)] \varphi^{\prime}(x) d x=F[\varphi(x)]+C$

2、第二类换元法

设 $x = \phi ( t )$ 是单调的可导函数，且 $\phi ^ { \prime } ( t ) \neq 0$ ，又 $\int f [ \phi ( t ) ] \phi ^ { \prime } ( t ) d x = F ( t ) + C$
则 $\int f ( x ) d x = F [ q ^ { - 1 } ( x ) ] + C$

若 $\sqrt { x ^ { 2 } + a ^ { 2 } }$ 则令 $x = a \tan t$
若 $\sqrt { x ^ { 2 } - a ^ { 2 } }$ 则令 $x = a \sec t$
若 $\sqrt { a ^ { 2 } - x ^ { 2 } }$ 则令 $x = a \sin t$ 或 $x = a \cos t$

3、分部积分法

$\int u d v = u v - \int v d u$
适用于两类不同函数相乘

多项式 $P _ { n } ( x )$ 与指数 $e ^ { \alpha x }$ 、三角函数、反三角函数、对数函数相乘的时候
指数函数 $e ^ { \alpha x }$ 与三角函数相乘的时候

（三）三类常见可积函数积分

1、有理函数积分

$\int P _ { n } ( x ) d x$

一般法（部分分式法）
特殊法（加项减项拆项或凑微分降幂）

2、三角有理式积分

$\int R ( \sin x , \cos x ) d x$

一般方法（万能代换）令 $\tan \frac { x } { 2 } = t$ ，则
$\int R ( \sin x , \cos x ) d x = \int R ( \frac { 2 t } { 1 + t ^ { 2 } } , \frac { 1 - t ^ { 2 } } { 1 + t ^ { 2 } } ) \frac { 2 } { 1 + t ^ { 2 } } d t$
特殊方法（三角变形、换元、分部）
1. $R(-\sin x, \cos x)=-R(\sin x, \cos x)$ ，令 $u = \cos t$
2. $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x, \cos x)$ ，令 $u = \sin t$
3. $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x, \cos x)$ ，令 $u = \tan t$

3、简单无理式积分

$\int R ( x , \sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } ) d x$
令 $\sqrt { \frac { a x + b } { c x + d } } = t$

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