摘要：在《数学颂》中，巴迪欧谈论了有关数学和哲学的几个问题。巴迪欧认为数学太过于精英主义，需要加强对公众的数学教育普及，而当今哲学太过于狭隘庸俗；谈到了数学和哲学在历史发展过程中的紧密联系，以及近代数学和哲学的分裂；谈到了对数学的界定，以及三种不同的逻辑形式；对以数学思想（集合论）为基础的形而上学框架构建进行了简单的描述；并谈论数学如何给人带来普适性的理智幸福。
1. 拯救数学
· 巴迪欧相信数学与哲学有着紧密的辩证关系，结构首先是数学家们所关注的东西；列维-施特劳斯在《亲属关系的基本结构》中提到了数学家韦伊，并提出用群代数理论来理解女性交换。
· 数学需要人成为一个自由地需要它的主体，而不是将它当作一个对立的学科；数学和哲学都需要将直观和证明以某种方式结合起来。
· 在解决数学问题时，寻求解的欲望，并不通过反对理性的法则，而需要理性法则的帮助，所以巴迪欧提出，欲望和法则不是对立的，而是辩证统一的。
· 绝大多数数学家与数学保持着极为精英主义的关系，他们有着极富创造性的数学知识，但仅限于一个高度精英化的知识分子的小圈子。
· 数学以中学、大学为基础进行教育传播，这种数学教育变得不明朗，学习数学的目的是成为被挑选出来的精英，从数学与公众舆论的关系来说，这伤害了数学。
· 巴迪欧认为数学应该像电影一样成为日常文化的一部分，而现实中数学的地位不及电影。
· 公众对数学的看法，一是对精英主义的尊重，二是在自任无数学天分的信念下包含的无知；想终结数学的精英主义，需要找到理解形式主义和概念目标之间的中间道路，而这需要哲学。
· 在思想形成过程中，知识的实际地位、对知识的表现、认识与思考、对所认识的知识的喜爱，并不是一回事，理清它们之间的关系是传播问题的关键所在。
· 柏拉图和亚里士多德将哲学视作一种教育事业，哲学首先考察的是已确立的知识，并将其综合到一个新的主体性当中。
· 哲学展现了知识的传播相对来说具有同质性，知识传播问题首先是让人相信它非常有意思、有吸引力，这是所有教育的一般问题。
· 大多数哲学家只接受过极少的数学训练，选择了分析哲学，甚至它的外围形式，即认识论；分析哲学关注陈述之间的语言学区分，一些陈述具有意义，是合理的，另一些陈述没有意义，都是形而上学；认识论试图用大脑机能的实验性研究来考察所有的思想和行为问题。
· 巴迪欧不将它们视为哲学，因为这些研究没有任何生存性的、政治性的，审美性的兴趣，对于旨在澄清真实生活是什么的哲学来说毫无用处。
· 所有学习哲学的人在实际生活中都没有数学文化，认为他们开展工作所依靠的只是哲学史，结果是，数学的真实生活和哲学的真实生活彼此完全分离的，这和哲学一直以来的存在情况是不同的。
· 数学精英主义有独一无二的创造力，也是所有精英主义中最排外的，具备平均水平的知识，甚至海量的知识，都不足以进入数学领域。
· 与数学完全相反，现在任何人都可以成为哲学家，在过去，成为哲学家需具备政治、科学、审美类的较高知识素养，而现在只需要提出有一定普遍性的看法，普遍性和庸俗的区别对于哲学家来说非常重要。
· 对于政治、科学、艺术，我们需要有深入而广泛的体验，可以在哲学上将它们正当化，然而许多“哲学家”达不到这个最低标准，尤其是谈到科学时，而科学中最为重要的东西就是数学。
· 数学和哲学之间的分歧的原因是， “新哲学家”太过狭隘、无知，使得哲学的地位难以置信地变得无关紧要，而数学容不得瞎糊弄，在数学上邯郸学步或者弄虚作假绝对是不可能的。
· 在古代和现代的先驱中，许多哲学名家同时也是伟大的数学家，巴迪欧的形而上学的一部分，就是为了消除所有以哲学名义所表达的东西与当代数学的知识工作之间的彻底分裂。
2. 哲学和数学
· 很多哲学家认为数学是理性哲学的前提，因为数学具有自身自证的只是程序，数学不像宗教或政治真理靠说教，如果需要一个证明，数学家便会构造一个证明。
· 基于叙述的真理是传统真理，是一种神话或启示真理，而数学真理的证明只依赖理性论证，在其原则上是可以辩驳的，若有人证明这一个假设是错误的，人们也得接受结果，故数学是民主思想的一部分。
· 巴门尼德和埃利亚学派的思想通过数学方法实现，如反证法，即用证明非p为假来证明命题p为真，这用到了排中律，即已知一个形式良好的命题p，要么p为真，要么非p为真，没有第三种可能。
· 在巴迪欧看来，数学的特征是在真与假之间有节制且规范地前行，即与那种启示真理或只具有诗性力量的真理决裂的数学的特征，故理性哲学和数学是同时出现的，不可能有其他情况。
· 对于笛卡尔来说，哲学文本必须采用推理的长链的形式，而这就是数学的本质，为了证明外部世界的存在，他从绝对怀疑的假设出发，发现怀疑不能怀疑自身，进而否定了绝对否定的怀疑。
· 笛卡尔给出了十几种上帝存在的证明，如通过有限的人具有无限的思想，得出一个无限存在物将无限的概念在人脑中创造出来，这些证明很数学。
· 斯宾诺莎说如果数学不存在，人就始终是无知的，所以他在伦理学中贯穿了某种观念，即在某种意义上，这种观念都是数学存在的结果，而借助终极因素的解释终将被哲学抛弃。
· 斯宾诺莎区分了三种不同的知识，第一种是感觉和想象表达的结合，或日常生活中的无知，第二种是经由方法，通过证明得出的概念知识，包括数学，第三种是上帝的直观知识，而上帝就是自然和宇宙，即哲学知识，如果不经由第二种知识，是无法抵达第三种知识的。
· 斯宾诺莎用类似于欧几里得的《几何原本》的结构来组织他的作品，于是他的哲学带有几何学的特征。
· 康德认为如果没有科学，便无法理解他的批判问题，即科学的普适性从何而来，而如果没有数学，便不会有自然科学。
· 康德认为数学的诞生不是历史的必然，而是泰勒斯个人的天赋的偶然创造，这个偶然的发现给予批判哲学可能性，并界定了哲学的根基。
· 数学有两种不同观念，实在论认为认为数学的对象外在于我们，而形式论认为数学是一种纯粹的形式语言的创造。
· 康德认为数学先于经验存在，形式科学中最关键的问题是人类知识的主观架构，即先验主体，理性的普遍性是由于它指向认识主体本身的普遍性结构，巴迪欧认为这是复杂版本的形式论。
· 数学之所以是普遍的不是因为它思考的是存在之所为存在的形式结构，而是因为对于任何人来说，它都以同样的方式编码，人类的心智结构遵循着某种单一范式。
· 巴迪欧认为哲学和数学是相互尊重的关系，哲学中存在对数学的依从，第二种理解是像维特根斯坦一样认为数学不关乎人类的存在，巴迪欧完全不同意这种看法。
· 新哲学家对很多东西都感兴趣，就是对数学没兴趣，巴迪欧认为他们是在完全错误地反对在哲学史长河中逐步确立起来的理性要求，他不反对任何关于数学的重要评价，而反对对数学的冷漠与无知。
· 数学在很大程度上摆脱了语言的独特性，是一种可以看作按照固定规则形式化的超语言的符号体系。
· 哲学涉及语言的多元性问题，某些哲学家认为只有某些语言具有普世价值，而笛卡尔指出，理性在任何语言中理解都是一样的，而数学就是一种超越了语言特殊性的思想程式。
· 数学关心最形式、最抽象的存在维度，是关于所有存在物构成的多之所是的理论，它谈论在任意情况下所有的多构成的某种共同的东西，即诸多存在物的事实，这是数学试图思考的共性中抽象出来的。
· 诗是语言的另一极端，将语言一分为二，强迫它命名它之前无法命名的东西，诗将语言的特殊性推向极限，在某种程度上，它也触及某种普遍的东西，与在语言特殊性之外运作的数学殊途同归。
· 如果今天真正存在国际联合体，那只有数学家能够真正实现，数学跨越了国家之间可见的和蛮横的特殊性壁垒，正如所有的真理程序一样，包括看起来最文化的程序，如艺术和治，都应当是如此。
· 巴迪欧认为很多顶尖数学家，有一种十分顽固的实证主义，毫无批判性地开展工作，让研究数学或科学的人不需要反思学科的普遍性和特殊真理，这是哲学家而非数学家的错。
· 数学家深入钻研一个难题，而不用什么时候都问自己数学是本体论还是语言游戏，他们对哲学的忽略是可以原谅的，因为他们全身心地投入到艰苦卓绝、没有回报、耗尽精力的追求当中。
· 哲学和数学的分裂是哲学家的错，哲学家认为不再需要思考四种不同类型的真理：科学（知性真理）、艺术（感性真理）、政治（集体真理）、爱（生存真理），而专业化的哲学观念没有任何意义。
· 19世界晚期是哲学转折点，一些极富天赋的人物，如尼采和维特根斯坦，改变了哲学前进的方向，抛弃了长期以来人们所接受的哲学的那些广泛而系统的本质，导致了哲学开始对数学漠不关心。
· 在许多最根本的哲学概念上，数学彻底改变了许多东西，比如，数学家已经让这个概念走向史无前例的复杂，如果不了解20世纪七八十年代关于数学无限问题的某些定理，就无法搞清楚无限一词的用法，又比如，逻辑已成为数学的一部分，而哲学家不可能无视逻辑。
· 数学和哲学之间的裂痕由历史原因造成，从黑格尔到萨特的存在主义，哲学上的浪漫主义远离了分析证明的理性，法国大革命之后对大写历史的关注，让运动、革命、否定性得到了正面评价，从而损害了从永恒角度来思考数学真理的方式。
3. 数学谈些什么
· 对数学的界定，不是数学问题，而是哲学问题，庞加莱和格罗滕迪克等数学家对此问题也感兴趣。
· 对于古希腊人来说，数学最有两个基本领域，几何学研究空间的对象和结构，算术研究数，两个领域之间的关联是一个尺度问题：一条线段的长度也是一个数。
· 19世纪圆周律pi的本质被确立了，直到那时候才能证明为什么pi不是整数或有理数甚至代数数，即系数为整数的方程的解，pi被称为超越数。
· 空间结构和数结构的基本区分很重要，法国布尔巴基小组提出了广义现代数学论，区分了用于计算的代数结构，以及用于思考空间布局的拓扑结构，将两个方向结合起来的问题，如代数几何，十分复杂。
· 与本体论相关的数学具有实在论的使命，数学家们通常称之为柏拉图式数学，在这种观点看来，数学是关于那里有什么、是什么的思考，数学是一种接近真实的路径，因为它们会假定，对于实存的事物而言，存在着某种普遍性，数学的目的便是对这种普遍性结构的研究。
· 若没有数学，物理学等关于真实世界的科学理论就不可能存在，故实在论认为数学与所有实存的东西都有根本性的关联。
· 形式论认为数学仅是语言游戏，数学的严格性和经验实在没有任何关系，毕竟数学公理可以变。
· 欧几里得几何中的一条公理是，过直线外一点，有且只有一条与原直线平行的直线，这是通过直观获得的，无数次试图通过其他公理来证明这一公理的尝试都失败了，但在罗巴切夫斯基几何中，有多条与原直线平行的直线，而在黎曼几何中，没有直线与原直线平行。
· 反哲学的逻辑学家维特根斯坦将数学视为纯粹的语言游戏，最终没有任何严肃的东西，以致他对当代数学的雄心冷嘲热讽，他批评集合论，而逻辑学和集合论的缔造者哥德尔，是一个柏拉图主义者。
· 亚里士多德将数学视为一种美，认为数学与真实无关，而是一种随意的创造，它产生思想上的快乐，而柏拉图认为数学就是普世性的理性知识的根基，哲学家绝对要从学习数学开始。
· 巴迪欧认为对于数的直观不会产生数学，而真正的问题是作为一种数学结构的接续，如果存在数n，那么总会存在数n+1，我们将它称为n的接续，这是一种数学结构。
· 自然数的加法运算要求在n和n+1之间不存在任何其他的数，而之间一次指向另一结构，即秩序结构，如果n小于q，而q小于r，那么q就在n和r之间，此秩序结构是离散结构。
· 如果我们仅仅考察自然数，在n和n+1之间只有空无，人们用0将空无纳入秩序结构中，它是空无的名称，也是秩序结构的最小值。
· 如果将自然数结构推进其他结构的关系之中：加、乘、除、因式分解等，那么就超越了数学直观的1、2、3，建立了基础数学，在这里，自然数可以还原为一个结构网络，是一系列公理的结果，为了获得所谓直观上的形式本质，这些公理可以改变。
· 对于分数来说，如果有a/b＜c/d，在它们之间至少还有一个分数，比如两个分数之和再除以2，即（ad+bc）/（2bd），对于分数来说，秩序是收敛秩序，在任意两个分数之间，存在无限多的分数。
· 在这个结构框架中，关系优先于实体或对象，决定了对象的本质和属性，所以它将直观对象还原为结构或形式运算，而其原则完全取决于数学家的决定或选择，这样实存的东西就是被结构化的领域，只有通过形式论才能计算和展现这些东西。
· 古典逻辑的核心，即对人们心灵产生普遍性影响的东西，在本质上就是否定，古典逻辑由矛盾律，即p和非p不能在一形式体系中同时被承认，和排中律，即若p为真，则非p为假。
· 直观主义逻辑拒绝了排中律，并在排中律之外建构了一个连贯性的形式体系，此体系更近似于具体经验，论点的否定也遵循矛盾律，但否定之否定不一定等于肯定。
· 在次协调逻辑体系中，矛盾律不具有普遍性，而排中律是正确的，对一个论点可能潜在无数多的理由，这里肯定了矛盾的存在（两人支持同一论点），但可使用排中律（支持和不支持之间没有其他立场）。
· 主流数学仍然在古典逻辑学中运作，但这种范畴论是探索一般意义上的关系理论，并不会预先给定对象，而次协调逻辑学仍然可行的，在类似于集合论数学的某些范畴中，如拓扑理论，这种逻辑在本质上是直观主义的。
· 在逻辑学甚至在数学中，不再有什么永恒不变的规律，哲学在很久之前就知道这一点，在黑格尔的体系中，否定之否定就不等于最初的肯定，故黑格尔的逻辑学不是古典逻辑学。
· 在巴迪欧的体系中，纯存在，即存在之所为存在的逻辑，是古典逻辑，表象逻辑是直观主义逻辑，事件逻辑和真理逻辑则依赖大写主体之下的次协调逻辑。
· 巴迪欧更认同实在论的数学观，数学思想有一种实在内容，既不是语言游戏，也不是纯粹逻辑的支脉，绝大多数数学家都是柏拉图主义者。
· 数学家在进行数学研究时，经常会碰到阻挡在那里成为困难的、一种无法克服的实在的东西，数学家们并没有数学仅是一个被编码的游戏的印象，而解决问题的道路在印象中触及真实。
· 孪生素数是否有无限多的问题，是可以触及问题真实一面的一个说明，我们不知道是否会发现无限多的新的孪生素数，故我们无法认为，在我们的游戏性创造之外没有实在。
· 巴迪欧认为数学是存在之所为存在的科学，本体论，数学就是一切事物之所是的科学，所以数学创造可以应用在物理学中，如复数成为电磁学的基本工具；像虚数这样被创造出来的形式，在被认识之前，事实上已经在某个地方被实现了。
· 对于数学存在意味着什么的思考的唯一方法就是纯粹形式结构的思考，即一种关于物质特性的不定性结构，而这种关于物质特性的不定性结构的科学，就是数学。
· 阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》对椭圆进行了研究，但两千年后，开普勒发现了行星运行的轨道是一个椭圆，阿波罗尼奥斯思考了行星轨道的存在之所为存在，但在那时并不了解它是什么。
· 巴迪欧不认为数学理论源自感性经验，感性经验的真实之所以可以思考，是因为数学形式论先于时代地思考了万物之所是的可能形式。
· 数学不需要让经验来验证其结构形式，数学是本体论，不依赖于任何的多，也不依赖于任何所是之物，因为任何所是之物，无论在什么情况下都是多，本体论只能因其自身而发展。
· 二次曲线理论在其应用到行星轨道之前就出现了，而二进制在计算机编码之前就已为人所知，但微分的发展在很大程度上在运动和力学问题下推进，而运动问题则由开普勒、伽利略在天文学上的革命导出。
· 只要采用的是纯粹数学的形式，某一理论就是按照本体论的规则来发展的，这种本体论的规则是公理性和证明性的，而不是实验性的。
· 如果物理学规则碰巧符合可以用数学语言来形式化的常规，这是因为语言的目的总是要寻找在其存在中基于某种连贯性的一切事物的可能形式；实存的东西是由某种连贯性的多所组成的，如果不是这样，在任何地方就只存在着难以预计的混沌，经验可以合理地说明在一般意义上并非如此。
4. 以数学为基础的形而上学
· 巴迪欧的哲学战略是诸真理的内在性，诸真理是一种带有普世价值的创造：艺术作品、科学理论、解放政治、激情之爱。
· 科学理论是关于存在本身（数学）或者我们所能经验世界自然规律（物理学和生物学）的诸真理；政治真理涉及所有依据诸普遍原则而建立的社会组织和集体生活的规律；艺术真理涉及业已完成的艺术作品在形式上的连贯性，它们升华了我们的感性知觉；爱的真理关系到一种辩证的力量，从个体独特性出发的视角，彻底地接受他者。
· 在起源和本质上这些真理都不是哲学的，但是巴迪欧的目的是得出一个哲学上的真理范畴，在真理之间做出区分和命名，建立一个绝对的、具体化的、永恒的架构，肇始于一个明确世界中的过程。
· 这个架构需要的真理是无限的，不需要求助于任何形式的神的观念，故巴迪欧的哲学建基于无限存在的本体论之上，这不是宗教本体论，也不能排斥所有的超越性。
· 从广义上来讲，让数学最终成为可能的，让数学成为试图超越当代相对主义，并希望恢复真理的普世价值的哲学家们的思辨资源，就是绝对本体论的可能性。
· 现在人们认为艺术家品味与地方文化有关，爱是偶然的，政治中没有真理而只有摇摆不定的意见，但是巴迪欧相信具有普适性的绝对真理的存在，只是需要从创造它们的时代的特殊土壤中提炼出来。
· 在巴迪欧的多的本体论的框架中，可以建立一种新的有限与无限的辩证法，而在人们日常生活的生存与相对于绝对真理的生存之间也可以建立一种新关系，这就是他提出的的真实生活的意义所在。
· 绝对本体论有四个特征：（1）（恒定不变）它虽使人思考运动，但自身外在于运动范畴，（2）（空无构成）在没有任何东西为基础的情况下，它也可以被完全理解，或者说没有它所组成的实体，（3）（纯粹公理性）它只能通过各种与之对应的公理或原则来描述和思考，是绝对非经验的，（4）（最大值原则）任何可以从公理中无矛盾地推理得出的知识实体是实存的。
· 为了不诉诸任何上帝的情况下保全诸真理的绝对性，巴迪欧认为应将集合论作为一种数学奠基的基本条件，如形式化理论和未分化的纯多的绝对理论，纳入哲学反思之中。
· 集合论遵循绝对性的四个基本原则：（1）（恒定不变）外延化的集合由其元素决定，集合变化的概念恒定不变，（2）（空无构成）集合论最初并没有引入任何元素，它假定没有元素的空集的存在，诸多秩序建立在无的基础上，（3）（公理设定）集合的实存只能从空集或用公理建构好的集合中推导得出，这些问题没有先天的答案，（4）（最大值）一个规定了某一确定集合实存的公理，若得到证明而不会导致架构在逻辑上的不连贯性，那么此公理就是理论的公理，即无限公理。
· 关于任意真理无限性的理论不可能是一神论的理论，大写的一的不存在，即所有集合的集合是不可能存在的，这一公理已被证明。
· 如果公理得出多是存在之所为存在的内在形式，对于某个存在来说，所有的存在都必须在其中存在，因为它必须是所有多的多，而这个词在用词上就是矛盾的，所以这种情况是不可能的。
· 数学所形式化的诸多并没有形成一个大写的一的集合，集合所研究的诸对象实存的领域可被称为V，大空集的形式化，即从各个公理中建构起来的一切事物的位。
· V是可以从理论的各种公理中得到证明的命题的集合，是一种被称为集合的类的语言的存在，这种理论实体没有对应的参照物，因为它就是绝对参照系的位；V是一个数学思想的存在，但它没有对应的存在物，因为一个存在物是一个多，因而属于V，而V本身不可能满足这一点。
· 巴迪欧说存在即多，关于多的各种可能性的合理理论就是集合论，真理也是一个多，多可以充当普世价值的媒介，是因为存在某种类性的多，一个真理的存在，并赋予其普遍的形式，就是类性的集合。
5. 数学能否带来幸福
· 在其定义之下，数学家完全内在于数学生产之中，像所有强烈的主体化运动一样，其中或许包含着巨大的渴望，例如，格罗滕迪克如此粗暴地与数学家圈子公开决裂，到法国南部去养羊，投身于环境保护。
· 康托尔基本定理之一说，一个集合的子集的数量通常多于其元素的数量，一个多（集合）E由诸多元素组成，E的任意几个元素组合就能构成一个E的子集。
· E的子集数量至少与E的元素数量一样多，对于元素x来说，始终存在一个由单一元素x组成的子集{x}，可以称之为x的单元集，x是一个包含大量的元素的集合，然而单元集{x}是一个有且仅有一个元素的集合，这个元素就是x。
· 康托尔定理并没有直接证明子集的数量多于元素的数量，而是利用反证法证明了子集的数量不可能与元素的数量一样多。
· 假定存在一个E，它的子集数量和元素数量一样多，E的所有元素与E的所有子集之间存在着完全一一对应（双射）关系，子集A是由元素x命名的，子集B是由元素y命名的，以此类推，所有子集和所有元素都可以在命名中用尽。
· 考察一下E中符合如下属性的元素，即它们不是以它们命名的子集的元素，它们构成了E的一个子集P，假设它由xp命名；若xp不是P的元素，则它具有构成P的元素的属性，故它应该在P之中，矛盾出现；若xp是P的元素，则它不是以它命名的子集的元素，但xp命名了P，矛盾再次出现。
· 此定理的额外奖励是一个政治规律，子集数量比元素数量更多，意味着集体有着比个体更丰富，也更深入的资源，在抽象层次上，康托尔定理驳斥了当代个人主义。
· 我们在数学推理中获得的是孩子似的神话和快感的合体，因为我们看到某种我们之前从未见到过的东西，错误翻转为正确，这种感觉就是哲学家们称之为幸福的样板。
· 斯宾诺莎在《伦理学》的结尾谈到了理智幸福，理智幸福就是人们达到了充足观念，在充足观念，即第三种知识之下，人不再关心证明的展开，这还是第二种知识，也不再关心数学练习中的证明的枯燥无味，人所关心的是概括性的综合，这就是得到了理解的所谓时机。
· 比起其他领域，只有在数学之中的幸福才是普世性的的幸福，如果有人按照同样的推理和理解来进行运算，他也可以感觉到这种幸福。
· 哲学也可以让主体走向这种幸福，哲学在真理这个类性名称之下，说明了这种幸福的根源在于何方，但它本身并不是这种幸福的根源。
· 幸福的真正根源在于在某一真理程序之下的主体行为：在参与集体性政治行动时快乐的感觉，一个艺术作品打动你而产生的愉悦，理解了一个复杂定理时的快乐，以及爱的喜悦，在那一刻，两个人超越了各自封闭的、纯粹有限的个体感知和情感的自然本性。
· 哲学指出了成为主体的可能路径，它并不是对少量真正真理存在的幸福的实践，而是一种对真理可能性的展现，故哲学教给我们的是幸福的可能性。
· 哲学要帮助人们理解，在他们自己的生活经验中，生命中的幸福是什么，哲学可以说真实生活，即由一个真实观念所引导的自由主体的生活，是可能的，除此之外哲学再无其他目的。
· 柏拉图认为哲学家比僭主（满足自己所有欲望的人）更幸福，任何具体而不是抽象地参与到真理过程中的人，任何献身于自己最高能力和自由的大写主体的生命，而不是献身于消极或空洞生活的人，一定会比寻欢作乐者更为幸福。
· 在商业导向的醉生梦死的快乐中，个人幸福如同非常虚弱的散光，在日常生活的黑夜里离我们远去，它们只指出了一个模糊的方向，打开一道狭小的缝隙，让光可以从外边照射进来，而哲学说我们可以开一个更大的窗子，让那个明亮的、更自由的，也更少受到利益驱动的外部的光更多地照射进来。
· 数学是模范，因为在数学中，理解的难度和冗长的思考之路与解决问题带来的幸福之间存在着十分清楚的关联，最初无法理解数学，是由于我们所是的个体的局限，最终能够理解数学时，一个直接与普世性相连接的大写主体。
· 四种真理程序首先彼此分离，它们依照各自的程序运行，以不同的方式被哲学所反思，另外三种真理程序，即艺术、爱和政治不需要与数学有关，但是不意味着它们与数学不能并存。
· 政治的重要问题是：在政治中能否可以通过理性协商来做出决策？还是政治中最后只剩下诸多意见？
· 所有依循其路径前进的必然会赞同该论断的结论，这就是真实的论断，这绝不能用来定义政治，但它有助于改变政治的方法，为避免共同利益、虚伪的代议、象征主义之间肮脏的勾结，要有一个共同标准。
· 认为政治话语就是胜利的修辞的人都是智者，智者哄骗人民，要他们使用胜利的修辞，完全不考虑他们的个人信仰是什么，不考虑任何真理，被误称为民主制的议会政治，一个由说不清道不明的利益，粗俗不堪的、情感化的、错误的知识和非理性的修辞的混合物所掌控。
· 数学是亘古不变的真正的话语理性的训练，将人们从没有真实本质的魅惑性的修辞中拯救出来，数学的训练就是让人们熟练一种话语理性，让他们可以做出复杂的决定。
· 数学的纯粹性引导思考与生存，让思考与生存可以走向真实生活，许多人反对数学，说它太复杂，且不能明确给出生存的意义，但数学的单纯性会为我们带来奇迹，它与主流意见无关，是完全自由的范例。
· 数学教学可以致力于让在孩子和成人感觉到数学的特别之处，即在某个时刻，可以用令人惊奇和意想不到的方式解开谜题，这些谜题在形式上得到了清晰和准确的概括。
· 数学之外的第一个支撑点是数学史，我们可以用鲜明活泼而非模式化解答的方式来表述数学史，理解一些数学定理在当时的情况下，为什么以及如何被发现，用来干什么，后来变成了什么样子，等等。
· 第二个支撑点是哲学，数学乐趣也在于探讨数学是什么，而这属于哲学问题，一些基础数学的问题，可以通过讲小故事和小趣味题来引导孩子，最高阶的哲学也可以这样来做。
· 巴迪欧建议在学前教育最后一年讲授哲学和数学，五岁的孩子能很好地应用无限的形而上学和集合论。
参考文献：
巴迪欧，《数学颂》
转自本人豆瓣账号鹦鹉螺
