这本书是吴军博士通识系列书中的其中一本，也是我读《数学之美》之后，第二本关于数学通识教育经典著作。讲述他心中当代人需具备的数学思维，如何提升自己的认知水平？如何改变自己的思维方式？········

      通识教育在中国有一个更好听的词，叫博雅教育。它们都是从拉丁文里的Liberal Arts一词翻译过来的，“通识教育”这种翻译强调其内容，“博雅教育”则强调其目的。

    Liberal 是“自由”的意思，arts 则通常翻译成“艺术”，让人联想到音乐、绘画、摄影、手工等，但它的含义其实更广泛一些，是指那些未必能直接用于谋生的技能，包括数学、自然科学、哲学、历史、艺术、音乐和许多其他的人文学科。

      吴军博士认为，通识教育的本质，即能够将这些知识用于许多地方，而不仅仅是直接用来做具体的事情。在古希腊，是否接受过通识教育，是区别自由民和奴隶的依据。在社会中经营水准和普通执行层面水准的差别可能有几个数量级，要达到精英水准，就需要提高综合素质，而最有效提高综合素质的方法，是接受通识教育。

      数学是什么？吴军博士认为，数学学习不是刷题，而是运用数学的思维和方法提高自己的认知水平。运用公理化的思考方式，提高在设备生活中胜算率那么什么是数学思维？它是从不可能变的事实出发，利用逻辑找出矛盾，发现问题，然后再设法解决问题。什么事不变的事实呢？比如宇宙中基本的粒子的数量是有限的，任何经济的增长都是不可能是长期翻番的，这些都是不变的事实。具体到金融领域，一个不变的事实就是，任何建立在空中楼阁之上的复利增长都是难以持续的。我们在自己的工作中，也不妨试试用一用“数学+”的方法。养成理性和量化地处理我们日常工作的习惯，建立和他人的沟通基础，是我们学习通识课的目的。

      吴军博士认为，学习数学最有价值的地方是，接受一种逻辑训练，行程理性思维的习惯，在生活中善于找出矛盾、发现问题，然后用逻辑的方法找到答案并采取行动。今天认知升级是一个时髦的字眼，它其实不过是掌握了学习的思维方式并对其灵活应用。

1.黄金分割点的应用与感想

      黄金分割的大致比例为1:0.618（1.618:1）。在拍照的时候，将照片中的主角放在黄金分割点处，照片画面会显得平衡而又不乏灵动。在投资的配比上，有经验的投资顾问通常建议将62%左右的资产放在回报高、风险相对也高的股市上，这基本符合黄金分割的比例。在剩余38%的资产中，大约24%的资产放在相对稳妥的债券上，这一值大约是38%的黄金分割点，最后百分之几的资产，则是各种复杂的组合投资。

2.无穷大和无穷小

      无穷大和无穷少不是一个具体的数。不是静态的，而是动态的，它放映了一种趋势，无穷大是一种无限增加的趋势，无穷少是一种不断地趋近于零的趋势。

3.笛卡尔的解析几何在数学和认识论上有三大贡献

      能够用解方程的方法解决几何问题，同时还能利用几何学直观的特性赋予方程形象的解释，是极具创造力的，而建立一个系统完成这一目标更了不起。笛卡尔坐标系在中国课本是平面直角坐标系。

      首先，笛卡尔构造出一个统一的体系，就是笛卡尔坐标系，它把一个平面的任意一点，根据水平和垂直两个维度进行定位。其次，笛卡尔吧欧氏几何的基本概念用代数的方法描绘了出来。最后，解析几何第一次将两个看似区别很大的数学分钟统一起来。

4.函数的本质和意义

      在中文里，函数这个词是清末数学家和翻译家李善兰创造出来的。一个变量随着其他变量变化的关系，就是函数的本质。具体来说，有了函数，人类在认识上进了三步，首先，我们就很容易看出来两个变量之间是怎样相互影响的。其次，我们从对具体事物、具体数的关注，变成了对趋势的关注，而且可以非常准确地度量变化趋势所带来的差异。最后，函数作为数学工具的作用，我们可以通过学习几个例题，掌握解决一系列问题的方法。

5 什么是72定律

    一种简单估值的方法，每年投资回报是R%，基本上经过72/R年，财富就可以翻一番。

6 微积分

    微分：宏观变化➡️微观变化

    积分：微观变化➡️宏观变化

    在生活中，积分思想的本质就是要从动态变化来看累积效应。积分有滞后效应。今天晚上努力了，你自己是知道的，到是想要有所收获，需要一段时间努力的积累，这就是做积分。

吴军博士对梯度思想的理解，人一辈子的成败取决于很多因素，虽然我们总想全方位改进自己，但是人的精力和资源有限，在某一时刻，可能只能向一个方向努力，因此决定该朝哪个方向努力非常重要。方向搞错了就事倍功半，搞对了就事半功倍，梯度其实就是指导我们选择方向的工具。

很多人从直觉出发，觉得该补短板，另一些人则觉得，该把长板变得更长。第一类人会讲木桶理论，第二类人会讲长板理论，每一类都有很多成功的例子，也有很多失败的教训。于是大家就糊涂了，不知道该用哪个理论了。事实上，理解了梯度的理论后，就很容易做决断了。只要在任何时刻（或者当前位置）知道了梯度，然后沿着最陡但是收益最大（人生收益综合的最大回报）的路径前进就好。

7随机性和概率论

买彩票的论述：中奖的概率是一百万分之一，你如果想确保有一次成功，大约要买260万次彩票。当然，有人觉得万一百分之的好运气就落在自己头上了，也未可知，要知道这比大家每天出门被车撞死的概率事件还要低好几个数量级。如果不相信自己会遇到那样倒霉的小概率事件，凭什么相信自己在更小概率的事情上能够有好运气。中国有句古话叫利令智昏，讲的就是这个道理。

古德-图灵折扣估计法的思想

资源的总量和概率总量一样，加起来是一个常数，而通常它们都已经一个萝卜一个坑地分配出去了，突然发生一件想不到的事情，就没有资源应对。但是，具有防御思维的智者，总会从资源分配较多的项目上，存留出一点点资源，用于应付任何不测的事件。

概率论是一种世界观，接受了概率论的世界观，我们在下结论时就不会那么斩钉截铁，会留有一定的余地。同时，我们在看到别人给出的结论时，也不会盲信，或者把它当成绝对真理。