[非監督]PCA(降維)

Dimension Reduction(降維)

有些時候高維的空間的資料可以以低維空間來表示。

PCA主成分分析(Principal Component Analysis)

基本概念

3個向量正交

再做PCA時需要先做Standardization，因為特徵的單位差異太大會對運算造成影響。
假設我們有一組數據，有3個特徵 $x_1,x_2,x_3$ 分別是生命、攻擊、防禦，共有N個樣本( $x_1^1、x_1^2...x_1^N$ ， $x_2^1、x_2^2...x_2^N$ ， $x_3^1、x_3^2...x_3^N$ )。
我們先看攻擊 $x_2$ 跟防禦 $x_3$ 數據分佈如下:

我們知道 $x,w$ 向量， $x$ 在 $w$ 上的投影為 $z_1$ ，我們要找一個向量 $w^1$ 能使 $z_1$ 的變異數 $Var(z_1)$ 最大， $w^1$ 的長度必須等於 $1$ 。如此我們會得到一個 $z_1$ 將3維特徵降為1維。
若要降為2維則再求 $w^2$ ， $w^2$ 的長度也必須等於 $1$ ，且要使 $w^1 \cdot w^2=0$ ，兩個向量互相正交，如此我們會再得到一個 $z_2$ 。

$w^1 = \begin{pmatrix} w^1_1&w^1_2&w^1_3 \end{pmatrix}，shape= 3$
$W = \begin{pmatrix} w^1 \\ w^2 \end{pmatrix}，shape= 2 \times3$
$x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}，shape= 3 \times N$
$z=Wx = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}，shape= 2 \times N$

3個向量正交

協方差、共變異數(cov)

協方差
$cov(x_1,x_2)=\frac{ Σ(x^i_1 - {x_1}_{avg})(x^i_2 - {x_2}_{avg}) }{N-1} ,(x=x^1,x^2,x^3....x^i;y=y^1,y^2,y^3,...y^i)$
$x$ 的cov matrix(協方差矩陣)：
$cov(x)=S=\begin{pmatrix} cov(x_1,x_1)&cov(x_1,x_2)&cov(x_1,x_3) \\ cov(x_2,x_1)&cov(x_2,x_2)&cov(x_2,x_3) \\ cov(x_3,x_1)&cov(x_3,x_2)&cov(x_3,x_3) \end{pmatrix},shape= 3 \times 3$

PCA運算

我們要求 $max　Var(z_1)$ ，可以經過以下推導：

$S$ 是半正定的矩陣(他的 $eigenvalues$ 都是非負的) ，solution $w^1$ 為對應 $max\ eigenvalue$ 的 $cov(x)$ 的 $eigenvector$ ， $w^2$ 為對應 $Second\ largest\ eigenvalue$ 的 $cov(x)$ 的 $eigenvector$ 。
線性代數--解eigen
將式子轉成 $g(w^1)=Var(z_1) - \alpha(constraint1) - \beta(constraint2)$ ，然後對 $w$ 各維度的向量做偏微分再整合成eigen形式即可求 $w^1$ 。

實作

數據降維

資料處理
資料處理相關預備知識
這是去kaggle抓的pokemon數據集，網址。
我們為了簡化先把部分資料移除，剩下連續型數據資料。
轉成numpy矩陣
PCA計算
先做特徵縮放，然後求cov(x)跟eigenvalue跟eigenvextor，然後eigenvextor依對應的eigenvalue大小順序由大到小排序，最後取出前k個eigenvextor與 $x$ 內積求得 $z$ 。這裡是 $x^T \cdot W^T=z^T$ 。
結果(6維轉4維)