三角函数之目：2011年理数大纲卷题17

2011年理数大纲卷题17

（本题满分10分）

\triangle A B C 的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c ，已知 A-C=90° , a+c=\sqrt{2} \, b , 求 C.

【解答】

根据正弦定理和已知条件可得：

a+c=\sqrt{2} \, b \Rightarrow\; \sin A + \sin C = \sqrt{2} \sin B （边化角）

A-C=90° \Rightarrow\; \sin A = \sin(90°+C)=\cos C

∵ A+B+C=\pi
∴ \sin B=\sin(A+C)=\sin(90°+2C)=\cos2C

∴ \cos C + \sin C = \sqrt{2} \cos 2C
=\sqrt{2} (\cos C + \sin C)(\cos C - \sin C)

∵ A-C=90°，
∴ A \gt 90°, C \lt 90°

∴ \cos C + \sin C \gt 0

∴ 1=\sqrt{2}(\cos C - \sin C)

\dfrac{\sqrt{2}}{2} \cos C - \dfrac{\sqrt{2}}{2} \sin C = \dfrac{1}{2}

\cos (C + 45°)=\dfrac{1}{2}

A-C=90° \Rightarrow\; 0° \lt C \lt 90°

∴ 45° \lt C+45° \lt 135°

∴ C+45°=60°, \; C=15°.

【提炼与提高】

以目前的标准来看，这道2011年的考题难度是比较低的。但这道题的解法很有典型性，备考初期用来练手是很适合的。

从本题解答过程中可以提炼出以下五点。

1）根据正弦定理进行『边化角』与『角化边』是三角大题中的常规操作。本题中用到了『边化角』。

2）在 \triangle ABC 中， \boxed{\sin B=\sin(A+C)} 这是一个常用结论。

3）诱导公式：\boxed{\sin{90°+\theta}=\cos \theta} 诱导公式共有3对。好多学生会在符号问题上犯错。

4）倍角公式：\boxed{\cos2\theta=\cos^2\theta - \sin^2\theta=(\cos\theta+\sin\theta)(\cos\theta-\sin\theta)}

余弦函数的倍角公式具有多种形式，比较灵活。本题中用到了『因式分解』的形式。假如对这种形式不够熟悉，就可能在解答过程中走上弯路。

4）两角和的余弦公式、辅助角公式。

5）根据角的范围讨论三角函数的取值范围。本题中，在进行约分操作前需要论证一下：\cos C + \sin C \gt 0, 以避免漏解。根据余弦函数值判断角 C 的值，同样需要先对范围进行讨论。

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