高斯和黎曼的微分几何（一）

引言

微分几何由欧拉奠基，被蒙日曲面论进一步发展，而高斯为这门学科做出了下一个重大贡献。从1816年起高斯在大地测量和地图绘制上做了大量工作，亲身参与了测量并发表了许多文章，激起了他对微分几何的兴趣，1827年发表了决定性的文章《关于曲面的一般性研究》，然而比起三维空间中曲面微分几何的决定性论述，更重要的是高斯提出了一个全新概念：一张曲面本身是一个空间，这个概念后来被黎曼推广，从而开辟了非欧几何的新前景。

高斯的微分几何
欧拉早就提出曲面上任一点坐标(x,y,z)可以用两个参数u,v表示，就是说曲面方程可以写为x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)，高斯运用这个参数表示进行曲面的系统研究，从这些参数方程中有dx=adu+a'dv,dy=bdu+b'dv,dz=cdu+c'dv，其中 $a=x_u,a'=x_v$ 等等。为了方便，高斯引入行列式 $A=\begin{vmatrix}b&c\\b'&c'\end{vmatrix},B=\begin{vmatrix}c&a\\c'&a'\end{vmatrix},C=\begin{vmatrix}a&b\\a'&b'\end{vmatrix}$ 和量 $\Delta=\sqrt{A^2+B^2+C^2}$ ，他假设这个量不恒等于0。
曲面的一个基本量是弧长元素，在(x,y,z)坐标中是 $ds^2=dx^2+dy^2+dz^2$ ，替换成u,v有 $ds^2=E(u,v)du^2+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^2$ ，其中 $E=a^2+b^2+c^2，F=aa'+bb'+cc',G=a'^2+b'^2+a'^2$
曲面上两曲线的夹角是另一个基本量，曲面上一条曲线由u,v关系式决定，这样x,y,z就变成参数u,v的函数，用微分的语言来说，在一点(u,v)，从这点出发的曲线或曲线方向由du/dv决定，如果有从(u,v)出发的两条曲线或两个方向，一个由du:dv给定，一个由du':dv'给定，设θ为二者夹角，高斯证明 $\cos\theta=\frac{Edudu'+F(dudv'+du'dv)+Gdvdv'}{\sqrt{Edu^2+2Fdudv+Gdv^2}\sqrt{Edu'^2+2Fdu'dv'+Gdv'^2}}$ ，接着高斯研究曲面曲率，他的曲率定义是将欧拉用于空间曲线和罗德里格斯(Olinde Rodrigues,1795–1851)用于曲面标形的曲率推广到曲面，在曲面上的每一点(x,y,z)都有一个带方向的法线，高斯考虑一个单位球面，并选定一条半径，它具有曲面上有向法线的方向，选取的半径确定了球面上的一个点(X,Y,Z)，如果我们考虑曲面上围绕(x,y,z)的任一小区域，则在球面上有一个围绕(X,Y,Z)的对应区域，当这两块区域分别收缩到对应点时，把lim(球面上区域的面积/曲面上对应区域的面积)定义为曲面在点(x,y,z)的曲率。首先注意到球面在点(X,Y,Z)处的切平面平行于曲面在点(x,y,z)处的切平面，因为平行，两面积之比等于它们分别在各自切平面上的射影之比。为了求后者比值，高斯进行了数量惊人的微分，并获得了一个更加基本的结果，即曲面的（总）曲率K为 $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$ ，其中 $L=\begin{vmatrix}x_{uu}&y_{uu}&z_{uu}\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{vmatrix},M=\begin{vmatrix}x_{uv}&y_{uv}&z_{uv}\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{vmatrix},N=\begin{vmatrix}x_{vv}&y_{vv}&z_{vv}\\x_u&y_u&z_u\\x_v&y_v&z_v\end{vmatrix}$ 。接着高斯证明K就是欧拉早就提出的在(x,y,z)处的两个主曲率的乘积，这也是1831年索菲热尔曼提出的两个主曲率的平均曲率这一概念。
这时高斯作了一个极其重要的考察，当曲面由参数方程给定时，曲面性质似乎依赖于函数x,y,z，通过固定u（比如u=3），变动v，就在曲面上得到一条曲线，对于u的其它可取值，得到一族曲线。同样地，固定v也得到一族曲线。这两族曲线是曲面上的参数曲线，使曲面上的每个点可以用一对数（如(c,d)给定），这里u=c和v=d是经过这点的参数曲线，想象一张曲面已经以某种方式确定了参数曲线，高斯断定曲面的几何性质仅由 $ds^2=E(u,v)du^2+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^2$ 中的E,F,G确定，即u和v的函数。而且可看出曲面上的距离和角度完全由E,F,G确定，但 $K=\frac{LN-M^2}{EG-F^2}$ 又依赖于另一些量L,M,N，这时高斯证明了 $K=\frac{1}{2H}\{\frac{\partial}{\partial u}[\frac{F}{EH}\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{1}{H}\frac{\partial G}{\partial u}]+\frac{\partial}{\partial v}[\frac{2}{H}\frac{\partial F}{\partial u}-\frac{1}{H}\frac{\partial E}{\partial v}-\frac{F}{EH}\frac{\partial E}{\partial u}]\}$ ，其中 $H=\sqrt{EG-F^2}$ ，并等于上面定义的Δ。这个微分方程称为高斯特征方程，它表明曲率K，特别是量 $LN-M^2$ 仅依赖于E,F,G。因为E,F,G仅为曲面上参数坐标的函数，所以曲率仅为参数的一个函数，与曲面是否在三维空间或曲面在三维空间的形态无关。
尽管曲面性质只依赖于E,F,G，但除曲率外还有很多性质包含L,M,N，且形式不为 $LN-M^2$ 。高斯论点的解析证明由Gaspare Mainardi(1800-1879)和Delfino Codazzi(1824-1875)独立给出，他们以微分方程形式给出了两个附加关系，连同高斯特征方程一起，可以用E,F,G限定L,M,N。
1867年Ossian Bonnet(1819-1892)证明：如果六个函数满足高斯特征方程和两个Mainardi-Codazzi方程，则除了在空间的位置和定向，确定唯一曲面。如果给定u,v的函数E,F,G,L,M,N，它们满足高斯特征方程和Mainardi-Codazzi方程，并设 $EG-F^2≠0$ ，则存在一个由u,v的三个函数x,y,z给定的曲面，其第一基本形式为 $Edu^2+2Fdudv+Gdv^2$ ，且L,M,N和E,F,G满足之前的行列式。这个曲面除了在空间的位置外是唯一确定的，对具有实坐标(u,v)的实曲面，必定有EG-F^2>0,E>0,G≥0。博内定理类似于曲线的对应定理(见十八世纪的解析几何和微分几何（四））。
曲面性质仅依赖于E,F,G还有许多意义，高斯在1827年论文已发表了一些，如一张曲面无伸缩地弯曲，则坐标曲线u=常数，v=常数将保持不变，即ds也保持不变，曲面的所有性质特别是曲率也保持不变。进一步说，如果两张曲面能建立一一对应，即如果u'=Φ(u,v),v'=ψ(u,v)，其中u'和v'是第二张曲面上点的坐标，并且如果两张曲面在对应点的距离元素相同，即如果 $Edu^2+2Fdudv+Gdv^2=E'du'^2+2F'du'dv'+G'dv'^2$ ，其中E,F,G是u,v的函数，E',F',G'是u'和v'的函数，则称两曲面等距，二者有相同的几何。高斯指出它们在对应点一定有相同的总曲率，称之为“极妙的定理”。
由此推出，要能把曲面一部分移到另一部分（意味着保持距离），一个必要条件是曲面有常曲率，例如球面的一部分可无畸变地移到另一部分上，而椭球面则不行（但在等距映射下把一张曲面或曲面的一部分和另一张曲面或另一部分拟合，是可以发生弯曲的），如果两张曲面不是常曲率的，虽然它们在对应点曲率相等，但不一定有等距关系。1839年Ferdinand Minding(1806-1885)证明：如果两曲面有相等的常曲率，则可以把一个曲面等距映射到另一曲面。

高斯和黎曼的微分几何（一）

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