线性代数系列：分块对角矩阵在行列式、幂运算、逆、伴随技巧

关键词：线性代数，分块对角矩阵

内容摘要

分块对角矩阵行列式
分块对角矩阵幂运算
分块对角矩阵求逆
分块对角矩阵求伴随

分块对角矩阵行列式

分块对角矩阵，或着上下三角矩阵求行列式有技巧，例如主对角线分块矩阵

$\left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} A & C \\ 0 & B \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} A & 0 \\ C & B \\ \end{array} \right| = |A||B|$

如果是副对角线分块矩阵，则需要通过逐行交换的方式转化为主对角线形式，公式为
$\left| \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & C \\ \end{array} \right| = \left| \begin{array}{cc} C & A \\ B & 0 \\ \end{array} \right| = (-1)^{mn} |A||B|$

其中， $m$ 为方阵 $A$ 的阶数， $n$ 为方阵 $B$ 的阶数。即他转化为主对角线形式需要 $mn$ 次，以如下矩阵为例
|0 0 0 1 2 3
0 0 4 5 6
0 0 7 8 9
10 11 0 0 0
12 13 0 0 0|

将第一行放到第一行，不能直接对换14两行，而是先交换43，再交换32，再交换21，要交换3次，因为要保持分块矩阵的元素顺序结构，因此一共要交换 $2*3=6$ 次。

分块对角矩阵幂运算

分块对角矩阵的幂运算，等于分块有值部分单独幂，再拼接起来，公式如下
$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}^n = \begin{bmatrix} A^n & 0 \\ 0 & B^n \\ \end{bmatrix}$

如果是上三角或者下三角，或者副对角线分块，根据矩阵相乘，显然不成立。

分块对角矩阵求逆

分块对角矩阵求逆，等于分块有值部分单独求逆再拼起来，公式为
$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & B^{-1} \\ \end{bmatrix}$

当分块矩阵的非零块位于副对角线（即反对角线）位置时，其逆矩阵具有如下形式：

则其逆矩阵为：
$\begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{A} \\ \mathbf{B} & \mathbf{0} \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \mathbf{B}^{-1} \\ \mathbf{A}^{-1} & \mathbf{0} \end{bmatrix}$

分块对角矩阵求伴随

分块对角矩阵的伴随，等于分块有值部分的伴随乘以另一半的行列式
$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} A^{*} |B| & 0 \\ 0 & B^{*} |A| \\ \end{bmatrix}$

例题1

求矩阵
$\begin{bmatrix} 3 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 4 & 1 \\ \end{bmatrix}$
的伴随矩阵。

此题用常规方法求矩阵的行列式和逆矩阵，计算量很大，直接套用上面公式，这样之需要求两个22的小矩阵的行列式和伴随，而22的伴随是很容易求出的
已知：
$A^* = \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}, \quad B^* = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}, \quad |A| = -5, \quad |B| = -5$

根据分块对角矩阵的伴随矩阵公式：
$\begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & B \\ \end{bmatrix}^{*} = \begin{bmatrix} A^{*} |B| & 0 \\ 0 & B^{*} |A| \\ \end{bmatrix}$

代入计算：

$A^* |B| = (-5) \begin{bmatrix} 1 & -4 \\ -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 20 \\ 10 & -15 \end{bmatrix}$
$B^* |A| = (-5) \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & 10 \\ 20 & -15 \end{bmatrix}$

因此，所求伴随矩阵为：
$\begin{bmatrix} -5 & 20 & 0 & 0 \\ 10 & -15 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -5 & 10 \\ 0 & 0 & 20 & -15 \\ \end{bmatrix}$