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堆、堆排序和优先队列
1. 什么是堆？
堆是一种数据结构，它是一颗完全二叉树。
堆分为最大堆和最小堆：
- 最大堆：任意节点的值不大于其父亲节点的值。
- 最小堆：任意节点的值不小于其父亲节点的值。
如下图所示，就是个最大堆：
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注：本文中的代码实现是最大堆，最小堆的实现相似，不再冗赘。
2. 堆有什么用途？
堆最常用于优先队列以及相关动态问题。
优先队列指的是元素入队和出队的顺序与时间无关，既不是先进先出，也不是先进后出，而是根据元素的重要性来决定的。
例如，操作系统的任务执行是优先队列。一些情况下，会有新的任务进入，并且之前任务的重要性也会改变或者之前的任务被完成出队。而这个出队、入队的过程利用堆结构，时间复杂度是O(log2_n)。
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3. 实现堆结构
3.1 元素存储
堆中的元素存储，一般是借用一个数组：这个数组是从 1 开始计算的。更方便子节点和父节点的表示。
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3.2 入堆
入堆即向堆中添加新的元素，然后将元素移动到合适的位置，以保证堆的性质。
在入堆的时候，需要shift_up操作，如下图所示：
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插入 52 元素后，不停将元素和上方父亲元素比较，如果大于，则交换元素；直到达到堆顶或者小于等于父亲元素。
3.3 出堆
出堆只能弹出堆顶元素（最大堆就是最大的元素），调整元素为止保证堆的性质。
在入堆的时候，需要shift_down操作，如下图所示：
image
已经取出了堆顶元素，然后将位于最后一个位置的元素放入堆顶（图中是16被放入堆顶）。
重新调整元素位置。此时元素应该和子节点比较，如果大于等于子节点或者没有子节点，停止比较；否则，选择子节点中最大的元素，进行交换，执行此步，直到结束。
3.4 实现优化
在优化的时候，有两个部分需要做：
-
swap操作应该被替换为：单次赋值，减少赋值次数 - 入堆操作：空间不够的时候，应该开辟 2 倍空间，防止数组溢出
3.5 代码实现
// MaxHeap.h
// Created by godbmw.com on 2018/9/19.
//
#ifndef MAXHEAP_MAXHEAP_H
#define MAXHEAP_MAXHEAP_H
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#include <typeinfo>
using namespace std;
template <typename Item>
class MaxHeap {
private:
Item* data; // 堆数据存放
int count; // 堆目前所含数据量大小
int capacity; // 堆容量大小
void shift_up(int k) {
Item new_item = this->data[k]; // 保存新插入的值
// 如果新插入的值比父节点的值小, 则父节点的值下移, 依次类推, 直到到达根节点或者满足最大堆定义
while( k > 1 && this->data[k/2] < new_item ) {
this->data[k] = this->data[k/2];
k /= 2;
}
this->data[k] = new_item; // k就是 新插入元素 应该在堆中的位置
}
void shift_down(int k) {
Item root = this->data[1];
// 在完全二叉树中判断是否有左孩子即可
while(2*k <= this->count) {
int j = k + k;
// 如果有右子节点，并且右节点 > 左边点
if( j + 1 <= this->count && this->data[j + 1] > this->data[j]) {
j += 1;
}
// root找到了堆中正确位置 k 满足堆性质, 跳出循环
if(root >= this->data[j]) {
break;
}
this->data[k] = this->data[j];
k = j;
}
this->data[k] = root;
}
public:
MaxHeap(int capacity) {
this->data = new Item[capacity + 1]; // 堆中数据从索引为1的位置开始存储
this->count = 0;
this->capacity = capacity;
}
// 将数组构造成堆：heapify
MaxHeap(Item arr[], int n) {
this->data = new Item[n+1];
this->capacity = n;
this->count = n;
for(int i = 0; i < n; i++) {
this->data[i + 1] = arr[i];
}
for(int i = n/2; i >= 1; i--) {
this->shift_down(i);
}
}
~MaxHeap(){
delete[] this->data;
}
// 返回堆中元素个数
int size() {
return this->count;
}
// 返回布尔值：堆中是否为空
bool is_empty() {
return this->count == 0;
}
// 向堆中插入元素
void insert(Item item) {
// 堆空间已满, 开辟新的堆空间.
// 按照惯例，容量扩大到原来的2倍
if(this->count >= this->capacity) {
this->capacity = this->capacity + this->capacity; // 容量变成2倍
Item* more_data = new Item[this->capacity + 1]; // data[0] 不存放任何元素
copy(this->data, this->data + this->count + 1, more_data); // 将原先 data 中的有效数据拷贝到 more_data 中
delete[] this->data;
this->data = more_data;
}
this->data[this->count + 1] = item; // 插入堆尾部
this->shift_up(this->count + 1); // 执行 shift_up，将新插入的元素移动到应该在的位置
this->count ++;
}
// 取出最大值
Item extract_max() {
assert(this->count > 0);
Item ret = this->data[1]; // 取出根节点
swap(this->data[1], this->data[this->count]); // 将根节点元素和最后元素交换
this->count --; // 删除最后一个元素
this->shift_down(1); // shift_down 将元素放到应该在的位置
return ret;
}
};
#endif //MAXHEAP_MAXHEAP_H
4. 堆排序
根据实现的MaxHeap类，实现堆排序很简单：将元素逐步insert进入堆，然后再extract_max逐个取出即可。当然，这个建堆的平均时间复杂度是O(n*log2_n)代码如下：
template <typename T>
void heap_sort1(T arr[], int n) {
MaxHeap<T> max_heap = MaxHeap<T>(n);
for(int i = 0; i < n; i++) {
max_heap.insert(arr[i]);
}
for(int i = n -1; i >= 0; i--) {
arr[i] = max_heap.extract_max();
}
}
仔细观察前面实现的构造函数，构造函数可以传入数组参数。
// 将数组构造成堆：heapify
MaxHeap(Item arr[], int n) {
this->data = new Item[n+1];
this->capacity = n;
this->count = n;
for(int i = 0; i < n; i++) {
this->data[i + 1] = arr[i];
}
for(int i = n/2; i >= 1; i--) {
this->shift_down(i);
}
}
过程叫做heapify,实现思路如下：
- 将数组的值逐步复制到
this->data - 从第一个非叶子节点开始，执行
shift_down - 重复第 2 步，直到堆顶元素
这种建堆方法的时间复杂度是: O(n)。因此, 编写heap_sort2函数：
// 建堆复杂度：O(N)
template <typename T>
void heap_sort2(T arr[], int n) {
MaxHeap<T> max_heap = MaxHeap<T>(arr, n);
for(int i = n -1; i >= 0; i--) {
arr[i] = max_heap.extract_max();
}
}
上面阐述的两种排序方法，借助实现的最大堆这个类，都需要在类中开辟this->data，空间复杂度为O(n)。其实，借助shift_down可以实现原地堆排序，代码如下：
// 这里的 swap 操作并没有优化
// 请对比 MaxHeap 中的 shift_down 函数
template <typename T>
void __shift_down(T arr[], int n, int k) {
while( 2*k + 1 < n) {
int j = 2 * k + 1;
if( j + 1 < n && arr[j + 1] > arr[j]) {
j += 1;
}
if(arr[k] >= arr[j]) {
break;
}
swap(arr[k], arr[j]);
k = j;
}
}
// 原地堆排序
template <typename T>
void heap_sort3(T arr[], int n) {
for(int i = (n -1)/2; i>=0; i--) {
__shift_down(arr, n, i);
}
for(int i = n-1; i > 0; i--) {
swap(arr[0], arr[i]);
__shift_down(arr, i, 0);
}
}
5. 测试
5.1 测试MaxHeap类
测试代码如下：
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include "MaxHeap.h"
#include "SortHelper.h"
#define HEAP_CAPACITY 10
#define MAX_NUM 100
using namespace std;
int main() {
MaxHeap<int> max_heap = MaxHeap<int>(HEAP_CAPACITY);
srand(time(NULL));
for(int i = 0; i < HEAP_CAPACITY + 5; i++) { // 容量超出初始化时的容量。测试：自动
max_heap.insert(rand() % MAX_NUM);
}
while( !max_heap.is_empty() ) {
cout<< max_heap.extract_max() << " "; // 控制台输出数据是从大到小
}
cout<<endl;
return 0;
}
5.2 测试堆排序
借助前几篇文章的SortHelper.h封装的测试函数：
#include <iostream>
#include <ctime>
#include <algorithm>
#include "MaxHeap.h"
#include "SortHelper.h"
#define HEAP_CAPACITY 10
#define MAX_NUM 100
using namespace std;
int main() {
int n = 100000;
int* arr = SortTestHelper::generateRandomArray<int>(n, 0, n);
int* brr = SortTestHelper::copyArray<int>(arr, n);
int* crr = SortTestHelper::copyArray<int>(arr, n);
SortTestHelper::testSort<int>(arr, n, heap_sort1<int>, "first heap_sort");
SortTestHelper::testSort<int>(brr, n, heap_sort2<int>, "second heap_sort");
SortTestHelper::testSort<int>(crr, n, heap_sort3<int>, "third heap_sort");
delete[] arr;
delete[] brr;
delete[] crr;
return 0;
}
