求导的逆运算

1.关于换元法在不定积分中的运算

1.1.三角函数积分

对于三角函数有理式的积分 $\int R(\cos x, \sin x) d x$ 。
可以利用万能公式进行计算，但是也可以采用其它替换方法

如果 $R(\cos x, -\sin x)=-R(\cos x, \sin x)$ 则用：
$t=\cos x$ 进行替换。
如果 $R(-\cos x, \sin x)=-R(\cos x, \sin x)$ 则用：
$t=\sin x$ 进行替换。
如果 $R(-\cos x, -\sin x)=R(\cos x, \sin x)$ 则用：
$t=\tan x$ 进行替换。

如果不符合上述所有情况，则可以进行万能公式替换，然后通过有理函数积分进行求解。

证明（此处只证明1、3，2和1雷同）：

①我们令：
$\frac{R(\cos x, \sin x) }{\sin x}= R_1(\cos x, \sin x)$
则有：

$R_1(\cos x, -\sin x)=\frac{R(\cos x, -\sin x) }{-\sin x}=\frac{R(\cos x, \sin x) }{\sin x}=R_1(\cos x, \sin x)$
根据上式，我们可知 $\sin x$ 是以偶数次方的形式出现，因此我们令：
$R_1(\cos x, \sin x)=R_2(\cos x, \sin^2 x)$
根据此进行积分可得：
$\int R(\cos x, \sin x) d x=\int R_1(\cos x, \sin x)\sin x d x=\int R_2(\cos x, \sin^2 x)\sin x d x=-\int R_2(\cos x, \sin^2 x) d \cos x$
我们令 $t=\cos x$ 得：
$\int R(\cos x, \sin x) d x=-\int R(t, 1-t^2) d t$ , 这样便进行了有理化。

②此时：

$R(\cos x, \sin x)=R(\cos x, \sin x*\tan x) =R_1(\cos x, \tan x)$
则由此可得：
$R(-\cos x,-\sin x)=R(\cos x, \sin x)=R_1(-\cos x, \tan x)=R_1(\cos x, \tan x)$
根据上式，我们可知 $\cos x$ 是以偶数次方的形式出现，因此我们令：
$R_1(\cos x, \sin x)=R_2(\cos^2 x, \sin x)$
根据此进行积分可得：
$\int R(\cos x, \sin x) d x=\int R_1(\cos x, \tan x) d x=\int R_2(\cos^2 x, \sin x) d x$
$=-\int \frac{R_2(\frac{1}{1+t^2}, t)}{1+t^2} d t$
这样便进行了有理化。

1.3.特殊形式的积分

①形如：
$\int R(x ， \sqrt[n]{\frac{a x+b}{c x+d}}) d x$
此时我们假设 $ad \neq bc$ ，否则 $\frac{ax+b}{cx+d}$ 是一个常数，这时被积函数就已经是有理函数了。为了变换成有理函数，进行换元：
$t=(\frac{ax+b}{cx+d})^{1/n},即t^n=\frac{ax+b}{cx+d}$
此时则有：
$x=\frac{d t^{n}-b}{-c t^{n}+a}$
此时明显可见， $\frac{d x}{d t}$ 是 $t$ 的有理函数，新的被积函数就成了有理函数。

②
形如 $\int x^{a}\left(a+b x^{\beta}\right)^{\gamma} \mathrm{d} x$ ，其中 $a,b$ 是实数， $\alpha,\beta,\gamma$ 是有理数。
对于这类函数，结果如下：如果 $\gamma,\frac{\alpha+1}{\beta},\frac{\alpha+1}{\beta}+\gamma$ 三个数其中有一个是整数，那么被积函数可化作有理函数来求原函数；否则，他的原函数不能用初等函数来表示。
首先做变量代换， $x^\beta=t$ ,
则有： $x=t^{1/\beta},\mathrm{d} x=\frac{1}{\beta} t^{1 / \beta-1} \mathrm{d} t$ ,于是有：
$\int x^{a}\left(a+b x^{\beta}\right)^{r} \mathrm{d} x=\frac{1}{\beta} \int t^{(\alpha+1) / \beta-1}(a+b t)^{\gamma} \mathrm{d} t$
因为 $\frac{\alpha+1}{\beta}-1$ 是有理数，记 $\frac{\alpha+1}{\beta}-1=\frac{p}{q}$ .故上式可以写为： $\frac{1}{\beta} \int(\sqrt[q]{t})^{p}(a+b t)^{\gamma} \mathrm{d} t$

当 $\gamma$ 是整数时，我们知道 $(a+b t)^{\gamma}$ 为有理函数，令 $u=\sqrt[q]{t}$ ,此时 $\sqrt[q]{t}^{p}=u^p$ ,也进行了有理化。
当 $\frac{\alpha+1}{\beta}$ 为整数时，也有 $\frac{\alpha+1}{\beta}-1$ 为整数，则不妨设 $\gamma=p/q$ ,此时我们不妨设 $a+bt=u^q$ ,则也进行了相应的有理化。
当 $\frac{\alpha+1}{\beta}+\gamma$ 为整数时，我们进行相应的化简可得：
$\frac{1}{\beta} \int t^{(\alpha+1) / \beta-1+\gamma}\left(\frac{a+b t}{t}\right)^{\gamma} \mathrm{d} t=\frac{1}{\beta} \int t^{(\alpha+1) / \beta-1+\gamma}(\sqrt[q]{\frac{a+b t}{t}})^{p} \mathrm{d} t$
则可知其也可以进行相应的有理化。

求导的逆运算