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1.关于换元法在不定积分中的运算
1.1.三角函数积分
对于三角函数有理式的积分。
可以利用万能公式进行计算，但是也可以采用其它替换方法
- 如果
则用：
进行替换。
- 如果
则用：
进行替换。
- 如果
则用：
进行替换。
如果不符合上述所有情况，则可以进行万能公式替换，然后通过有理函数积分进行求解。
证明（此处只证明1、3，2和1雷同）：
①我们令：
则有：
根据上式，我们可知是以偶数次方的形式出现，因此我们令：
根据此进行积分可得：
我们令得：
, 这样便进行了有理化。
②此时：
则由此可得：
根据上式，我们可知是以偶数次方的形式出现，因此我们令：
根据此进行积分可得：
这样便进行了有理化。
1.3.特殊形式的积分
①形如：
此时我们假设，否则
是一个常数，这时被积函数就已经是有理函数了。为了变换成有理函数，进行换元：
此时则有：
此时明显可见，是
的有理函数，新的被积函数就成了有理函数。
②
形如，其中
是实数，
是有理数。
对于这类函数，结果如下：如果三个数其中有一个是整数，那么被积函数可化作有理函数来求原函数；否则，他的原函数不能用初等函数来表示。
首先做变量代换，,
则有：,于是有：
因为是有理数，记
.故上式可以写为：
- 当
是整数时，我们知道
为有理函数，令
,此时
,也进行了有理化。
- 当
为整数时，也有
为整数，则不妨设
,此时我们不妨设
,则也进行了相应的有理化。
- 当
为整数时，我们进行相应的化简可得：
则可知其也可以进行相应的有理化。
