恩格斯在《自然辩证法》上讲到： “辩证法是关于普遍联系的科学。”【1】
其实，普遍联系是可以计算的，特别的是，计算可以发现普遍联系与Catalan数存在紧密的关系。还是让我们拿起笔来算一算吧。不过算之前，我们先来看一看数学上的关系。
一元和二元关系是最基本的关系
对于这个题目，教科书上是这样讲的。
在我们所学的数学和集合论的教科书中，经常会讲到二元关系和多元关系。二元关系都是简单一致的。但对于多元关系，一般就是简单定义为
, 这样一种省略的表述，张锦文教授在《集合论浅说》【2】对这种表述方法讲的很清楚。
张锦文教授著写的《集合论浅说》是从有序对讲起的：
“恰好有两个元素
，而且
在前，
在后，这种集合叫做有序对，和以前谈到的无序对不同，它的元有确定的次序，这叫做有序对集合，记做
。”
“定义：有序对的一集合
叫做一关系，即：
)
也就是说，一集合，它的每一元素都是一有序对，就叫为一关系。”(《集合论浅说》第134页)
“事实上，任一关系的子集合都是一关系。特别需要指出，空集合也是一关系。
本身也是一关系。一般说来，对于任一集合
，
，它们的笛卡尔乘积
的任一子集合都是一关系。并称 为从 到 的一关系，当
时，有时也称为上的一关系。”(《集合论浅说》第135 页)
“可以把有序对的概念推广到三元有序集，称有序三元组，通常定义为：
其中
为任意的集合，类似的，能够定义有序四元组
。
同理，还可以继续按此方式定义有序五元组，六元组，以至于对于任意的自然数$n$，可以定义有序
元组。为了统一起见，我们也规定一元组：
。”(《集合论浅说》第136-137 页)
从这样的多元关系中，可以看到这都是一元和二元关系。从三元关系来看，在
中，可以看到三元关系其实就是两个二元关系，一个是二元关系
，另一个二元关系是
。需要解释的是，要先把 看成是一个整体，再把这个整体与一元关系
组成一个二元关系。类似的四元关系也是如此，也是把看作一个整体，再与一元关系形成一个二元关系。其他多元关系也是如此。
刘壮虎教授在《素朴集合论》中讲的也很明确。
“有了有序对，任给
，可以用数学归纳法定义元有序组如下：
%20.%3Ca_1%3E%3Da_1)
；
%20.%3Ca_1%2C%5Cdots%EF%BC%8Ca_%7Bk%2B1%7D%3E%3D%3C%3C%20a_1%2C%5Cdots%EF%BC%8Ca_k%3E%EF%BC%8Ca_%7Bk%2B1%7D%3E)
。
元有序组是通过逐次构造有序对得到的，所以对于
，每个元有序组都是有序对，是一个
元有序组和另一个元素的有序对。
有了元有序组，就可以用第一章的同样方法定义个集合的卡氏积。由元有序组的归纳定义可知，
%5Ctimes%20A_%7Bk%2B1%7D)
。
这样，个集合的卡氏积就是通过逐次构造两个集合的卡氏积得到的，所以对于，每个个集合的卡氏积都是两个集合的卡氏积，是一个个集合的卡氏积和另一个集合的卡氏积。
由于以上原因，只需要定义有序对的集合——二元关系，而将元有序组的集合——$n$元关系作为二元关系的特例。既然只定义二元关系，就将二元关系简称为关系。
定义 关系 有序对的集合称为关系。”【3】
那么为什么要说只有一元和二元关系是最基本的关系呢？
因为卡氏积的运算中，是需要确定运算顺序的。比方说集合
和集合
的卡氏积，一般来说
，对于集合
和
的卡氏积
，其实是存在有两种情况%5Ctimes%20C)
和，一般来说也是不等于)
的。同样的对于
也有两种情况%5Ctimes%20A)
和)
，而一般来说%5Ctimes%20A%5Cneq%20A%5Ctimes%20(A%5Ctimes%20A))
。而在教科书中，所有的多元关系都只是表达了一种形式，即%5Ctimes%20C))
或%5Ctimes%20A))
这样的一种向后续乘的形式。考虑到有和这样的形式，但是都舍弃不用。事实上，这样的形式还是简单的，在后面我们会看到对普遍联系进行形式化后，随着元素的增多，其卡氏积的各种复杂的形式会成几何级数的增长。
因为三元关系和四元关系及其他多元关系都是由一元关系和二元关系组成的，所以一元关系和二元关系是最基本的关系。
普遍联系与Catalan数的关系
“ 联系和关系作为普遍的哲学范畴，是指一切事物、现象之间及其内部各个要素之间的相互影响、相互作用和相互制约。联系总是两个或两个以上的不同事物、现象之间发生的关系，绝对同一的或孤立的事物、现象是无所谓联系的。”【4】
从上面的论述中，可以看到，在马克思主义哲学中，对于联系和关系基本上认为是一个大致相同的概念。关系是数学集合论中一个基本的概念，也是数学中一个基本的概念。但是在数学和集合论中少有联系的概念。又因为哲学上的关系与联系这两个概念与数学上的关系基本相同，因此我们将联系和关系都统一在关系的概念上来进行研究。
现在首先将普遍联系假设化：任何两个事物都存在（某种）关系。
再将其符号化，即：对于任意的两个元素
，存在关系)
或)
。逻辑上的形式化即是：
%5Cvee%20%5Cexists(y%2Cx))
现在从数学和集合论的角度来研究一下这个关系。前面我们已经讲了关系只有一元和二元关系。一元关系简单，就是张锦文教授讲到的： “规定一元组：
。”此一元组即一元关系。
如果说对于
和
这样的两个元素（要素）有关系或联系，就用集合关系式把它们表示成)
。
现在我们来看一看多个元素是如何组成二元关系的。比方说在))
这样的三个元素的关系中，可以把)
看成是一个二元关系元素后，再与形成的二元关系。在五个元素%2C(a_3%2C(a_4%2Ca_5))))
的关系中，可以把))
看成是一个元素后，再与这个元素形成的二元关系。
为了与那种两个元素组成的简单二元关系相区别，不妨把这种全部由二元关系组成的多元素关系，叫做全二元关系。
依照上面的方法，对于任意的个元素，都可以将其分解为若干个二元关系。现在，可以计算一下，对于这个元素，可以有多少种全二元关系？对于个元素，我们知道它一般是有有序和无序之分的，在这里只对全部有序的全二元关系作出相应的演算。为了论论的方便，现在不妨称这个计算出的总个数为全二元关系基数。
先算一算全部有序的个元素的全二元关系基数。
显然，对于
这样的个元素有
(的阶乘)种排列的方法，在每一个排列方法确定之后，然后再看每一个排列方法有多少种不同的关系。
不失一般性，在一个排列中，令这个元素是按排列的。
因为在这里讨论的是全二元关系，因此，在这个元素的关系中，总是可以先分出这样的一个二元关系：
%2C((n-k)%5Ctext%7B%E4%B8%AA%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%85%B3%E7%B3%BB%7D)))
，
假设
个元素关系含有)
种全二元关系，%20)
个元素关系含有%20)
种全二元关系，则根据组合原理，那么这一种关系中含有%5Ctimes%20G(n-k)%20)
种全二元关系。
而可以取的值有
共个不同的值，那么个已排列元素含有%3D%5CSigma%20G(k)%5Ctimes%20G(n-k)%20)
种全二元关系，其中
。
在数学上这种计算方法叫做递归法，通过这个递归的计算得到的数有一个名字，叫做Catalan数。
如果算上全部的排列，那就是，所以个元素的普遍联系的计算出来的数就是%3DG(n)%5Ctimes%20n!)
。
普遍联系的关系式
计算方法如下：
把含
个元素的相对应的%EF%BC%8CG(2)%EF%BC%8CG(3)%EF%BC%8CG(4)%EF%BC%8CG(5))
的基数值和其关系式罗列如下：
%3D1)
，单个元素%3Da)
。
解读：这就是张锦文教授讲到的一元组“
”，设定其关系基数为Catalan数值
。
%3D1%EF%BC%8CG(2)%3DG(1)%5Ctimes%20G(1)%3D1)
。
解读：两个元素包含有一种关系：，其关系基数为Catalan数值。
%3DG(1)%5Ctimes%20G(2)%2BG(2)%5Ctimes%20G(1)%3D2)
，其关系基数同为Catalan数值
。
解读：三个元素包含有两种关系:)%20%EF%BC%8C((a_1%2Ca_2)%2Ca_3))
。
%3DG(1)%5Ctimes%20G(3)%2BG(2)%5Ctimes%20G(2)%2BG(3)%5Ctimes%20G(1)%3D5)
。
解读：四个元素包含有
种关系：其关系基数同为Catalan数值。))%EF%BC%8C)
%2Ca_4))%EF%BC%8C((a_1%2Ca_2)%2C(a_3%2Ca_4))%EF%BC%8C)
%2Ca_3)%2Ca_4)%EF%BC%8C((a_1%2C(a_2%2Ca_3))%2Ca_4)%E3%80%82)
%3DG(1)%5Ctimes%20G(4)%2BG(2)%5Ctimes%20G(3)%2BG(3)%5Ctimes%20G(2)%2BG(4)%5Ctimes%20G(1)%3D14%E3%80%82)
解读：五个元素包含有
种关系，其关系基数同为Catalan数值，其关系式分别表示如下：
)))%20%EF%BC%8C(a_1%2C(a_2%2C((a_3%2Ca_4)%2Ca_5)))%20%EF%BC%8C)
%2C(a_4%2Ca_5)))%20%EF%BC%8C(a_1%2C(((a_2%2Ca_3)%2Ca_4)%2Ca_5))%20%EF%BC%8C)
)%2Ca_5))%20%EF%BC%8C((a_1%2Ca_2)%2C(a_3%2C(a_4%2Ca_5)))%20%EF%BC%8C)
%2C((a_3%2Ca_4)%2Ca_5))%20%EF%BC%8C((a_1%2C(a_2%2Ca_3))%2C(a_4%2Ca_5))%20%EF%BC%8C)
%2Ca_3)%2C(a_4%2Ca_5))%20%EF%BC%8C((a_1%2C(a_2%2C(a_3%2Ca_4)))%2Ca_5)%20%EF%BC%8C)
%2Ca_4))%2Ca_5)%20%EF%BC%8C(((a_1%2Ca_2)%2C(a_3%2Ca_4))%2Ca_5)%20%EF%BC%8C)
)%2Ca_4)%2Ca_5)%20%EF%BC%8C((((a_1%2Ca_2)%2Ca_3)%2Ca_4)%2Ca_5)%E3%80%82)
普遍联系的关系式集合的表示法
要说明的是，这里构筑的个元素普遍联系关系式组成的模型，在其关系式和基数上是一个统一体，是不能随便将其分割开来的，考虑关系基数的时候一定要考虑到这样的关系基数的每一个单位都是与一个关系式相对应的。正因为每一个关系式都是与其它的关系式是不相同的，这样才能使计算的基数每一单位都分别对应于一个关系式。
与Catalan的卡氏幂对应，作者用%7D(a_1%2Ca_2%2Ca_3))
表示排列)
的集合，而)
表示其恰有的元素基数。因为 都是用递归方法计算出来的，并且并集是可以做运算的。当集合
时，集合和的基数运算，
，
。 因为在这里，)
到%20)
的每两个集合的交集都是空集，所以所有的集合基数的加法与其集合的并集，以及集合基数的乘积与其集合的卡氏积都是完全一致的。所以，用这种含基数标志的并集来表示其集合是合理的。
因为)
到)
的每两个集合的交集也都是空集，因此，对于这样的集合，也可以用上面的方法表示。
为了叙述和表示的方便，在中，我们不妨将并集符合下面的或 叫做标志数，而将%20)
叫做标志元素，其中在中为一种确定的排列。读作“标志元素为排列
，Catalan数的并集集合”。
需要注意，当标志数为的时候，)
是确定了的一个排列，而当标志数为 的时候，
是一个集合，不能是排列。%7D%5C%7Ba_1%2Ca_2%2Ca_3%5C%7D%7B%7D%5C)
读作“标志元素为，普遍联系的并集集合”。
对于表示的就是排列的集合，
%7D(a_1%2Ca_2%2Ca_3)%3D%5C%7B(a_1%2C(a_2%2Ca_3))%2C((a_1%2Ca_2)%2Ca_3)%5C%7D%7B%7D)
。
而中的)
表示的是
的普遍联系的关系式集合。
%7D%5C%7Ba_1%2Ca_2%2Ca_3%5C%7D%3D%5C%7B)
)%2C((a_1%2Ca_2)%2Ca_3)%2C(a_1%2C(a_3%2Ca_2))%2C((a_1%2Ca_3)%2Ca_2)%2C)
)%2C((a_2%2Ca_1)%2Ca_3)%2C(a_2%2C(a_3%2Ca_1))%2C((a_2%2Ca_3)%2Ca_1)%2C)
)%2C((a_3%2Ca_2)%2Ca_1)%2C(a_3%2C(a_1%2Ca_2))%2C((a_3%2Ca_1)%2Ca_2)%5C%7D)
普遍联系的卡氏幂
在接下来对卡氏幂的讨论中，我们只讨论全有序的普遍联系。
对于集合
，因为只有一种排列，因此其对应的全有序的普遍联系的集合只能是%7DA_n)
。
因为%3D%5Csum%20G(k)%5Ctimes%20G(n-k))
种全二元关系，
，
因此，%7DA%5En%3D%0A%0A%5Cbigcup%5Climits_%7Bk%3D1%7D%5E%7Bn-1%7D%5Cbigcup%5Climits_%7BG(k)%7DA%5Ek%5Ctimes%5Cbigcup%5Climits_%7BG(n-k)%7DA%5E%7Bn-k%7D)
。
在
中，只有一个，因此，；
在
中，只有一个
，因此，%3D1)
；
在
中有%E5%92%8C(A%5Ctimes%20A)%5Ctimes%20A)
两种情况，因此，%3DG(1)%20%5Ctimes%20G(2)%2BG(2)%20%5Ctimes%20G(1)%3D2)
；
在
中有 ))
，%5Ctimes%20A))
%5Ctimes%20(A%5Ctimes%20A))
，)%20%5Ctimes%20A)
和%5Ctimes%20A)%20%5Ctimes%20A)
等一共种情况，因此，%3DG(1)%20%5Ctimes%20G(3)%2BG(2)%20%5Ctimes%20G(2)%2BG(3)%20%5Ctimes%20G(1)%3D5)
；
当集合
时,Catalan数的卡氏幂%7DA%5E2%3D%5C%7B(a_1%2Ca_1)%2C(a_1%2Ca_2)%2C(a_2%2Ca_1)%2C(a_2%2Ca_2)%7B%7D%5C%7D%5C)
。
普遍联系的关系式集合%7D(a_1%2Ca_2)%3D%5C%7B(a_1%2Ca_2)%2C(a_2%2Ca_1)%5C%7D%20%7B%7D)
。
我们比较一下Catalan数的卡氏幂%7DA%5E2)
和普遍联系的关系式集合%7D(a_1%2Ca_2))
，可以发现，比%7D(a_1%2Ca_2))
多了两个元素)
和)
。和这两个元素都是自身的关系式。
如果我们比较更多的普遍联系的关系式集合和相应的Catalan数的卡氏幂，也会发现多的都是包含自身的关系。
以上我们分析了普遍联系的集合，还有普遍联系的关系式集合与其相应的Catalan数的卡氏幂之间的关系，从而我们可以定义出普遍联系的卡氏幂的概念。
由以上分析，我们可以得出结论：Catalan数卡氏幂的即为包含自身关系的普遍联系。因此，我们将Catalan数卡氏幂也叫做普遍联系的卡氏幂。
参考文献
【1】恩格斯，自然辩证法，于光远译，北京：人民出版社，1984年10月，第8页。
【1】中共中央马克思恩格斯列宁斯大林著作编译局，马克思恩格斯全集第20卷，北京：人民出版社，2006年，第357页
【2】 张锦文，集合论浅说[M]，北京：科学出版社，1984年。
【3】 刘壮虎，素朴集合论[M]，北京：北京大学出版社，2001年,第257 页。
【4】 常绍舜，马克思主义哲学[M]，北京：中国政法大学出版社，1999 年，第142页。
