电磁学乱七八糟的符号(二)

电磁学乱七八糟的符号(二)

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author:何伟宝

前言:第五章开始因为要大量考虑介质的各种媒质常数,所以一定要分清公式的使用范围!
还有特定关系的前提和假设

[TOC]

chapter5电磁波的传播(TEM,理想介质)

波动方程

因为这里和上一篇blog有出入,重写一次:
\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}
\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}
由于\partial E 和\partial H极其难算,所以上式为一般波动方程
在理想介质中(\sigma=0)(空气)下,一般波动方程退化为齐次非含源项波动方程:
\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0
\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0
在真空中有:

光速c

\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=0
\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\frac1 {c^2}\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=0
其中光速c:
c=\frac1 {\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} \approx 3 \times 10^{-8}(m/s)
 
取齐次非含源项波动方程复数化有:

波数&&相位常数k(同一个东西)

\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-k^2\vec E(\vec r)=0
\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-k^2\vec H(\vec r)=0
其中波数:
k=\omega\sqrt{\mu\varepsilon}=\frac \omega v
由TEM的瞬时通解可以知道,k表示波传播单位距离的空间相位变化,又称相位常数:
k=\frac {2\pi}{\lambda}

TEM波动方程

引入平面电磁波(TEM)约束:
\begin{cases} E_z=0,H_z=0 \quad 在z=c处\\ \frac \partial{\partial x}=0 ,\frac \partial{\partial y}=0 \ \end{cases}
代入波动方程可得到:
\frac {d^2 E_x}{dz^2}+k^2 E_x =0
\frac {d^2 H_y}{dz^2}+k^2 H_y =0
通解形式(瞬时):
E_x(z,t)=Re[E_x(z)e^{j\omega t}]=E^+_{x0} cos(\omega t -kz)

角频率\omega

角频率:\omega表示单位时间内时间相位变化
\omega T=2\pi \\f=\frac1 T =\frac \omega{2\pi}

相速v_p

相速v_p表示等相面移动的速度:
v_p=\frac {dz}{dt}=\frac \omega k = \frac1 {\sqrt{\mu \varepsilon}}

传播特性&&时均坡印亭矢量(计算用)

若已知E,求H,有:
E(z)=a_x E^+_{x0}e^{-jkz}
H_y(z,t)=\frac 1\eta E^+_{x0}cos(\omega t-kz)
所以同理,时均坡印亭矢量S_{av}可以写成:
S_{av}=\frac 12 Re(\vec E \times \vec H^*)=\vec a_z \frac1 {2\eta E_x^2}

波阻抗\eta

重写,\eta又称本征阻抗或特性阻抗,单位是\Omega
\eta=\sqrt{\frac \mu\varepsilon}

能速v_e

在均匀平面电磁波中有能速:
\frac {\vec S_{av}}{\omega_{av}}=\vec a_z \frac 1{\sqrt{\varepsilon\mu}} =v_e
其中\omega_{av}表示时均电磁能流密度,变形为S_{av}=v_{av}\omega_{av}则有:
空间某点的时均能流密度是以速度v_e运动的时均能量密度\omega_{av},所以称v_e为能速

特别地,在理想介质中,v_e=v_{p}

平面电磁波,导电媒质

在这里考虑的重点在于\sigma \neq 0所以波动方程不能像上面一样化简
由于这一节概念多,会配以理解

TEM波动方程

回归最原始的波动方程:
\nabla^2 \vec E(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2\vec E(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma \frac{\partial \vec E(\vec r,t)}{\partial t}

\nabla^2 \vec H(\vec r,t)-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec H(\vec r,t)}{\partial t^2}=- \mu\sigma\frac{\partial \vec H(\vec r,t)}{\partial t}

用复数形式表示后,用类理想介质的齐次方程表示为:
\frac {d^2 E_x}{dz^2}+\vec k^2_c E_x =0
\frac {d^2 H_y}{dz^2}+\vec k^2_c H_y =0
注意到,因为右边的是一次项,微分下来会让k变成一个复数

复波数k_c&&复电容率\varepsilon_c

k_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c} , \varepsilon_c = (\varepsilon - j\frac \sigma\omega)=\varepsilon^` -j\varepsilon^{``}
由于复电容率的更新,导致理想介质中的很多参数都复数化了,所以会有新的拓展

复传播常数\gamma&&衰减常数\alpha&&相位常数\beta

\gamma=jk_c=\omega \sqrt{\mu \varepsilon_c}=\alpha +j\beta
其中:
\alpha=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}-1]}
\beta=\omega\sqrt{\frac{\mu\varepsilon}{2}[\sqrt{1+(\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})^2}+1]}
是有点复杂,但是到后面的良导体良介质会化简!
注意到这里的相位常数不再等于波数了.(虽然后面用起来还是很像的)

对于TEM来说,波动方程可退化为:
\frac {d^2 E_x}{dz^2}-\gamma^2 E_x =0
\frac {d^2 H_y}{dz^2}-\gamma^2 H_y =0
简单的微分方程求解得:
E(z)=\vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z}
H_y(z,t)=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\gamma z}=\frac 1\eta_c \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z} = \frac 1 {|\eta_c|} \vec E^+_{x0}e^{-\alpha z}e^{-j\beta z+\phi}

复波阻抗&&复本征阻抗\eta_c

\eta_c=\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=|\eta_c|e^{j\phi}
其中:
|\eta_c|=(\frac \mu\varepsilon)^{\frac 12}[1+(\frac {\sigma}{\omega \varepsilon})^2]^{- \frac14}
\phi=\frac 12 arctan(\frac \sigma{\omega\varepsilon})

相速v_p&&色散波

v_p=\frac \omega\beta=\frac1 {\varepsilon_c \mu}=\frac1 {\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})}}
可以看出这里的相速会和频率有关,所以这种波称为色散波,相应导电媒质称为色散媒质

良导体和良介质的判定

\frac{\vec J}{\vec J_d} \sim \frac{\sigma}{\omega\varepsilon} \begin{cases} \gg 1,\quad 良导体 \\ \ll 1,\quad 良介质 \end{cases}

平面电磁波,良导体

传播常数\gamma

\gamma=jk_c=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\frac{\mu\sigma}{j\omega}}=\frac{1+j}{\sqrt2} \sqrt{\omega \mu\sigma}

衰减常数&&相位常数

\alpha \approx \beta \approx \sqrt{\pi f \mu\sigma}=\sqrt{\frac{\omega\mu\sigma}{2}}

复波阻抗

\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac {j\omega\mu}{\sigma}}=(1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}=e^{j\frac\pi 4}\sqrt{\frac {2\pi f \mu}{\sigma}}

相速

v_p=\frac \omega\beta=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon_c}}}=\frac1{\sqrt{\mu{\varepsilon}(1-j\frac{\sigma}{\omega\varepsilon})}} \approx \sqrt{\frac {2\omega}{\mu\sigma}}

趋肤深度\delta

由上述可知:
a\sim f,\mu,\sigma
所以在良导体中,电磁波很快就衰减完了,电磁波仅局限于道题表面附近区域,称为趋肤效应,故有趋肤深度\delta:
\delta =\frac1a =\sqrt{\frac2 {\omega\mu\sigma}}=\frac 1{\sqrt{\pi f \mu\sigma}}
在良导体中:
\delta=\frac1\beta=\frac\lambda {2\pi}

表面阻抗和表面电抗

\eta_c=R_S+jX_S \approx (1+j)\sqrt{\frac {\pi f \mu}{\sigma}}
其中R_S表面阻抗 和X_S表面电抗,相应Z_S称为表面阻抗,所以有:
R_S=X_S=\sqrt{\frac{\pi f \mu}{\sigma}}=\frac1{\sigma\delta}

平面电磁波,良介质

因为前面就讲过理想介质,所以这个没多少

传播常数

\gamma=\sqrt{\varepsilon \mu(1-j\frac {\sigma}{\omega\varepsilon})} \approx j\omega\sqrt{\mu\sigma}=(1-j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})

衰减常数

\alpha \approx \frac\sigma 2\sqrt{\frac \mu\varepsilon}

相位常数

\beta \approx \omega \sqrt{\mu\varepsilon}

复波阻抗

\eta_c =\sqrt{\frac \mu{\varepsilon_c}}=\sqrt{\frac \mu\varepsilon (\frac1 {1-j\frac \sigma{\omega\varepsilon}})} \approx \sqrt{\frac\mu\varepsilon}(1+j\frac{\sigma}{2\omega\varepsilon})

任意方向传播的均匀平面电磁波

波数矢量&&位置矢量

\vec E(\vec r)=\vec E^+_0 e^{-j\vec k\bullet \vec r}=\vec E^+_0e^{-j k\vec a_n\bullet \vec r}
其中k为波数矢量,又称传播矢量,r称为位置矢量

平面电磁波,极化

以合成波电场强度与x轴夹角\alpha分类:

线极化波

\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})=C

圆极化波

\alpha =arctan(\frac {E_{y0}}{E_{x0}})= arctan(\frac {\mp E_{0}sin\omega t}{E_{0}cos\omega t})=arctan(\mp tan\omega t)=\mp \omega t

椭圆极化波

\alpha =arctan (\mp \frac {E_{y0}}{E_{x0}}tan \omega t) \neq \mp \omega t

方向用\alpha 来判断也是可以的,在z正向下,\alpha为负右旋,为正左旋,其他类似

想我尽早更新的方法之一

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