2.2理想的运算，环的直和

证明：在域 $F$ 上的一元多项式环 $F[x]$ 中，
问题一： $(f(x))(g(x)) = (f(x)g(x))，$ 【证明】我们只需要证明集合两端相互包含即可。

问题二，三： $(f(x)) \cap (g(x)) = ([f(x), g(x)])$ $(f(x)) + (g(x)) = ((f(x), g(x))),$ 【这两条也是通过双包含关系证明】
问题四： $(f(x)) 与 (g(x)) 互素 \Leftrightarrow f(x) 与 g(x) 互素,$ 【证明】由于 $(f(x)) 与 (g(x)) 互素 \Leftrightarrow (f(x)) + (g(x)) = ((f(x), g(x)))=(1) = F[x],$ 所以存在 $u(x)和v(x)\in F[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x)=1$ 于是 $f(x)和g(x)$ 互素。
问题五： $f(x) 与 g(x) 互素 \Rightarrow (f(x))(g(x)) = (f(x)) \cap (g(x)).$ 【证明】 $f(x)$ 和 $g(x)$ 互素 $\Longleftrightarrow \ (f(x))和(g(x))$ 互素。 $\Longrightarrow (f(x))(g(x))\ (f(x))\cap (g(x))$

设 $I$ 是交换环 $R$ 的一个理想，令 $\text{rad } I := \{ r \in R \mid r^n \in I, \text{ 对某一正整数 } n \},$ 称 $\text{rad } I$ 是理想 $I$ 的根。证明： $\text{rad } I$ 是 $R$ 的一个理想。
【解答】
①首先证明对于任意的 $r_1,r_2\in \text{rad }I$ 我们知道 $r_1^n,r_2^n\in I$ 所以 $(r_1 -r_2)^{n_1+n_2}$ 用二项式定理展开之后发现他也属于 $I$ 于是 $(r_1 -r_2) \in \text{rad } I$
②对于任意的 $a \in G,r \in \text{rad }I$ 我们考虑 $(ar)^n = a^nr^n \in a^nI \subset I$
从而 $\text{rad }I$ 是 $R$ 的一个理想。

如果环 $R$ 中的元素 $a$ 有一个正整数 $n$ ，使得 $a^n = 0$ ，那么称 $a$ 是幂零元。证明，如果 $a$ 是有单位元的环 $R$ 中的一个幂零元，那么 $1 - a$ 可逆。
【解答】类似等比数列的性质，我们知道 $(1 + a +a^2 +a^3 +\cdots +a^{n-1})(1 -a) = 1-a^n=1$
所以 $1-a$ 可逆
证明：在交换环 $R$ 中, 所有幂零元组成的集合是 $R$ 的一个理想, 它是零理想 $(0)$ 的根, 称为 $R$ 的幂零根。

【证明】我们已经知道 $I = \{0\}$ 是 $R$ 的一个平凡理想。根据第2题的证明 $\text{rad }I$ 也是一个理想。

设 $I_1, I_2, \cdots, I_s$ 都是环 $R$ 的理想, 并且
$R = I_1 + I_2 + \cdots + I_s,$ $I_i \cap \left( \sum_{j \neq i} I_j \right) = (0), \quad i = 1, 2, \cdots,$
证明：(1) 环 $R$ 的每个元素 $x$ 都可以唯一表示成
$x = x_1 + x_2 + \cdots + x_s, \quad x_i \in I_i, i = 1, 2, \cdots, s$
【证明】证明唯一性我们一般采取反证法，假设 $x$ 有两种分解方式
也就是 $x = x_1 + x_2 + \cdots + x_s=y_1 +y_2+\cdots +y_s$
因此得到 $(x_1 -y_1) =(y_2-x_2) +\cdots +(y_s -x_s) \in I_1 \cap\left( \sum_{j \neq 1} I_j \right) = (0),$

所以 $x_1 = y_1$ ，不失一般性可以推出 $x_i = y_i$ 所以 $x$ 的分解形式是唯一的。

(2) 有环同构
$R \cong I_1 \oplus I_2 \oplus \cdots \oplus I_s,$
此时称 $R$ 是它的理想 $I_1, I_2, \cdots, I_s$ 的内直和。
【解答】根据(1)中证明的分解形式的唯一性，我们来构造同构映射即可。

设 $R$ 是一个有单位元的环, 它的理想 $I_1, I_2, \cdots, I_s$ 两两互素, 并且
$I_1 \cap I_2 \cap \cdots \cap I_s = (0).$ 证明：有环同构
$R \cong R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \cdots \oplus R/I_s.$

image.png

【解答】我们可以直接根据上述的定理得到答案，如果说需要详细写步骤，那我首先构造同态映射 $\sigma: R \to R/I_1 \oplus R/I_2 \oplus \cdots \oplus R/I_s$
使得 $\sigma(r) = (r+I_1,r+I_2,\cdots,r+I_s)$ 只需要验证①这是一个同态映射。②它的同态核 $Ker \sigma = \{0\}$ ，那么命题就可以得到证明。

下面几个题目考察的是中国剩余定理，也叫做孙子定理。

中国剩余定理

韩信点兵问题：“有一队士兵, 三三三数余二, 五五数余一, 七七数余四, 这队士兵有多少人?”
在 $\mathbb{Z}_{51}$ 中, 求 $\overline{1}$ 的全部平方根。
在 $\mathbb{Z}_{555}$ 中, 求 $\overline{4}$ 的全部平方根。
在 $\mathbb{Z}_{85}$ 中, $\overline{2}$ 的平方根存在吗？

2.2理想的运算，环的直和

2.2理想的运算，环的直和

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