k-近邻算法的工作机制并不复杂：给定某个待分类的测试样本，基于某种距离（如欧氏距离）度量，找到训练集中与测试样本最接近的 k 个训练样本，然后基于这 k 个最近的“邻居”（k 为正整数，通常较小）进行预测分类。

预测策略通常采用的是多数表决的“投票法”。也就是说，将这 k 个训练样本中出现最多的类别，标记为预测结果，如下列公式所示：

image

这里，v 表示分类标签，y_i 表示第 i 个训练样本的分类标签，I(□) 是一个指示函数（Indicator Function），如果预测结果属于某个分类，则返回为 1，否则返回 0（实际上就是分类投票）。'y 表示的就是预测结果，哪个类的得票数最多，它就归属于哪个类。

k-近邻算法示意图如图 1 所示。

k-近邻算法示意图

图 1：k-近邻算法示意图

k-近邻算法是一种基于实例的学习，也是惰性学习的典型代表。所谓惰性学习（Lazy Learning）是指，没有显式的训练过程。此方法在训练阶段仅将样本保存起来，所以训练时间为零。待收到测试样本后才开始处理。与之相反的是在训练阶段就“火急火燎”地从训练样本中建模、调参的学习方法—急切学习（Eager Learning）。

k-近邻算法算法虽然简单易用，但也有不足之处。首先，“多数表决”分类会在类别分布偏斜时出现缺陷。也就是说，k 的选取非常重要，因为出现频率较高的样本将会主导对测试样本的预测结果。从图 1 中可见，k 取值不同时，分类的结果明显不同。当 k=1 时，待分类的样本属于第 1 类（即方块类）；而当 k=3 时，遵循“少数服从多数”原则，待分类的样本属于第 2 类（三角形类）。自然，当继续扩大 k 值时，样本归属类也可能发生变化。

其次，“少数服从多数”原则也容易产生“多数人的暴政”（tyranny of the majority）问题。什么是“多数人的暴政”呢？最早提出“多数人的暴政”概念的是法国历史学家托克维尔（Tocqueville），他将这种以多数人名义行使无限权力的情况，称为“多数人的暴政”。

多数人的意见虽然代表了大多数人的利益，但“多数”可能恰恰就是平庸的多数，精英永远是少数。大众民主，并不一定能保证人类社会向正确的方向发展。“多数人的暴政”的历史渊源，最早可以追溯到古希腊时期的“苏格拉底之死”，如此智慧之人的死刑判决，竟然是由雅典人一人一票表决出来的。

类似地，k-近邻算法算法如果简单地实施“众（数据）点平等”的“少数服从多数”原则，也可能误判新样本的类别归属。那么，怎样才能缓解这一不利趋势呢？俗话说得好，远亲不如近邻。事实上，我们需要给不同的“投票人”赋予不同的权重，轻重有别，越靠近数据点的投票权重越高，这样才能在投票原则下更为准确地预测数据的类别。

最后，距离的表示方式也会显著影响谁是它的“最近邻”，从而显著影响分类结果。常用的距离表示方式有欧几里得距离（Euclidean Distance，也称欧氏距离）、马哈拉诺比斯距离（Mahalanobis Distance，也称马氏距离）、海明距离（Hamming Distance）等。

影响k-近邻算法性能的因素

影响 k-近邻算法性能的因素有很多，其中比较重要的有四个：k 值的选取、特征数据的归一化、邻居距离的度量及分类原则的制定。下面分别对进行简单介绍。

k值的选取

k 值的选取，对 k-近邻算法的分类性能有很大影响。如果 k 值选取较小，相当于利用较小邻域训练实例进行预测，“学习”而得的近似误差较小，但预测的结果对训练样本非常敏感。也就是说，k 值较小，分类算法的鲁棒性也较差，很容易发生过拟合现象。

倘若 k 值较大，则相当于在较大邻域中训练实例进行预测，它的分类错误率的确会有所下降，即学习的估计误差会有所降低。但随着 k 值的增大，分类错误率又会很快回升。这是因为，k 值增大带来的鲁棒性很快就会被多出来的邻居—“裹挟而来”的噪声点所抑制，也就是说，学习的近似误差会增大。

此外，在样本空间中，相对较远的近邻所在的区域，很可能已经被其他类所占据，这样也会导致 k-近邻算法分类失准。对于 k 值的选取，过犹不及。通常，人们采取交叉验证（Cross Validation，CV）的方式来选取最优的 k 值，即对于每一个 k 值都做若干次交叉验证，然后计算出它们各自的平均误差，最后择其小者定之。

特征数据的归一化

计算不同样本之间的距离，需要考虑不同特征的取值范围。不同特征对距离计算的影响可谓大相径庭。比如，对于灰度而言，245 和 255 之间相差 10。对于气温而言，37°C 和 27°C 之间也相差 10。但这两个 10 实际的差距幅度是大不相同的。这是因为，灰度的值域是 0～255，而气温的年平均值在 -40°C～40°C，前者的差距幅度是 10/256=3.9%，而后者的差距幅度是 10/80=12.5%。

为了公平起见，通常需要对样本的特征值进行数据预处理，归一化（Normalization）就是常见的处理方法之一，它会把所有特征值映射到 [0,1] 范围之内进行处理。归一化机制有很多，最简单的方法是，对于给定的特征，首先找到它的最大值（MAX）和最小值（MIN），然后对于某一个特征值 x，它的归一化值 'x 可用如下公式表示。

image

下面用一个简单的例子来说明这个归一化值的求解过程。假设训练集中某个特征的值分别为 6、2、24、-6、10。我们使用如下 Python 程序，可方便求解它的归一化值。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [1]:
01 import numpy as np
02 X_train = np.array([6, 2, 24, -6, 10]) #构建一个矩阵
03 X_min,X_max = X_train.min(), X_train.max() #求得最小值、最大值
04 print(X_min, X_max)
Out[1]: -6 24
In [2]:
01 X_nomal=(X_train - X_min) / (X_max - X_min) #求得归一化矩阵
02 print(X_nomal)
Out[2]:[0.4 0.267 1. 0. 0.533]</pre>

从输出的结果可以看出，所有的值都落入 [0,1] 区间，这样就完成了归一化操作。

事实上，sklearn 提供了非常多数据预处理操作。导入相应的模块，我们就可以很方便地对数据进行适当的加工。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [3]:
01 from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler
02 import numpy as np
03 X_train = np.array([[6, 2, 24, -6, 10]]).reshape(-1,1)</pre>

在上面代码中，第 1 行导入了 sklearn 中的极大极小归一化方法 MinMaxScaler。

但需要注意的是，这个方法在计算极大较小归一化时，是以列为方向（axis=0）来计算的。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">X_std = (X - X.min(axis=0)) / (X.max(axis=0) - X.min(axis=0))</pre>

所以，对于前面提供的数据 [6 ,2, 24, -6, 10]，我们必须将其转置。此外，MinMaxScaler 操纵的数据必须是二维数组，所以我们必须“投其所好”，把数据提前转换为 sklearn 喜欢的模样。

上面代码第 03 行的 reshape(-1,1) 值得说明一下，它表示将数据进行变形。其中第 2 个参数表示数据列数，因此“1”表示数据变形后只有 1 列。而第 1 个参数“-1”并不表示通常意义上的倒数第 1 个，而是表示当 n-1 维度的信息确定后，决定让系统自动计算剩余 n 维数值。这是程序员常用的比较“讨巧”的方法。

针对上述代码，reshape(-1,1) 和 reshape(5,1) 是完全等价的。现在的数据维度较小，你可以输出“5”这个维度的信息。当数据维度非常大时，你就可以感受到这种方法的好处。

事实上，针对上述第 03 行代码，它在功能上等价于如下代码：

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">03 X_train = np.array([[6, 2, 24, -6, 10]]).T</pre>

每个 NumPy 数组对象都有一个转置（transposition，简称为 T）操作，可以直接使用。

在数据加工之后，我们就可以实施转换，将其转换为适合 sklearn 的样式。在 sklearn 中，如果要做一件事，基于面向对象编程的特征，你必须先生成做这件事情的对象。极大极小归一化也是这样。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [4]: min_max_scaler = MinMaxScaler()</pre>

在上述代码中，min_max_scaler 就是要“做事”的对象，只有当这个对象存在，我们才可以调用它对应的方法来实施操作。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [5]: min_max_scaler.fit(X_train)
Out[5]: MinMaxScaler(copy=True, feature_range=(0, 1))</pre>

在 sklearn 中，凡是想从数据中提取参数的操作，在宏观上都叫作拟合（fit），所以在上面代码的 In [5] 处，虽然也用了 fit( ) 这个方法，但并不是前面案例中的模型训练，而是求数据最大值和最小值的方法。

有了这两个值，我们就可以利用归一化公式进行操作，sklearn 中将这种改变原始数据大小的行为，称为变换（transform）。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [6]: min_max_scaler.transform(X_train)
Out[6]:
array([[0.4 ],
[0.267],
[1. ],
[0. ],
[0.533]])</pre>

可以看出，这个输出结果已经和我们自己动手编写的 Python 程序的输出结果非常类似了。只要稍微做一下转置即可获得一样的结果。

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [7]: X_nomal = min_max_scaler.transform(X_train).T
In [8]: X_nomal
Out[8]:[[0.4 0.267 1. 0. 0.533]]</pre>

如果我们不需要拟合过程中的参数，那么拟合和变换可以合并为一个方法：fit_transform。因此上述代码可以凝练为一行：

<pre class="info-box" style="margin: 6px auto; display: block; padding: 10px; font-size: 14px; line-height: 1.6em; color: rgb(68, 68, 68); white-space: pre-wrap; overflow-wrap: break-word; background: none rgb(248, 248, 248); border: 1px solid rgb(225, 225, 225); border-radius: 4px; font-style: normal; font-variant-ligatures: normal; font-variant-caps: normal; font-weight: 400; letter-spacing: normal; orphans: 2; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; widows: 2; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; text-decoration-thickness: initial; text-decoration-style: initial; text-decoration-color: initial;">In [9]: min_max_scaler.fit_transform(X_train).T
Out[9]: array([[0.4, 0.267, 1. , 0 . , 0.533]])</pre>

从上面的操作可以看出，凡事有利必有弊，当我们想使用某个框架时，有时也需要付出代价，那就是必须“削足适履”，把数据转换为框架所需的模样，否则就无法利用框架的优势。

邻居距离的度量

不量化，无以度量远近。k-近邻算法要计算“远亲近邻”，就要令样本的所有特征都被量化，以便能进行比较。如果样本数据的某些特征是非数值类型的，那也要想办法将其量化。比如颜色，不同的颜色（红、绿、蓝）就是非数值类型的，它们之间好像没有什么距离可言。但如果将颜色转换为灰度值（0～255），就可以计算不同颜色之间的距离（差异度）。

在特征空间上，某两个点之间的距离也是它们相似度的反映。距离计算方式不同，也会显著影响谁是它的“最近邻”，从而显著影响分类结果。

一般情况下，我们常采用欧氏距离作为距离的度量指标。但如果不做归一化处理，欧氏距离很容易受量纲的影响，这时我们还可以采用马氏距离。马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯（P.C.Mahalanobis）提出的，它可以很方便地表示数据的协方差距离，也是一种有效呈现两个未知样本集相似度的方法。

在文本分类中，对于非连续变量，欧式距离、马氏距离就表现出了一定的局限性。在这种情况下，海明距离应用得更广。简单来说，海明距离就是两个字符串对应位置的不同字符的个数。换句话说，它表示将一个字符串变换成另外一个字符串所需要替换的字符个数。

在实际应用中，我们要根据不同的应用场景选择不同的距离进行度量。只有这样才能让基于距离计算的 k-近邻算法表现得更好。

分类原则的制定

k-近邻算法的分类原则通常有两类。一类是平等投票表决原则，投票多者从之。但这种“众生平等”的投票表决方式可能会产生问题。想象一下，假设让众多人投票判决“你是好人还是坏人”（此处的分类为好人或坏人），那么对你知根知底的人和与对你完全陌生的人，有一样的投票权，是不是对你很不公平呢？因此，多数人投票出来的结果，未必是最理想的。

为了纠正这种偏差，我们要对这些“邻居”赋予不同的投票权重，这也就是第二类分类原则—加权投票原则。对于距离越近的邻居，他的权重越大。