微分方程-Peano 存在性定理

Peano 存在性定理

在本节我们仍然考虑初值问题：

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=f(t,x),\,x(t_0)=x_0\quad(5.4)$

不同的是这里仅要求 $f(t,x)$ 在矩形区域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,|x-x_0|\leqslant b\}$

上连续而不一定满足 Lipschitz 条件. 我们将证明这时初值问题（5.4）的解仍然存在们只是不一定唯一. 这就是 Peano 存在性定理.

定理 5.2（Peano 存在性定理）

若 $f(t,x)$ 早矩形区域 $R$ 上连续，则初值问题（5.4）在区间 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上至少有一个解. 其中

$h=\min\left\{a,\dfrac{b}{M}\right\},\,M=\max\left\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\right\}.$

这个定理不仅结果重要，而且其证明的思想和方法也十分重要. 这就是我们要介绍的 Euler 折线法和 Ascoli-Arzela 引理. Euler 折线法描绘了积分曲线的几何思想，成为近似计算的开端.

证明

第一步

构造 Euler 折线.
我们仅仅在矩形区域 $R$ 上寻找解，因此从等价积分方程（5.5）可以得到

$|x(t)-x_0|\leqslant M|t-t_0|\quad(5.10)$

因此，为了包整界函数图像不越出矩形 $R$ ，必须 $M|t-t_0|\leqslant b$ . 故要求 $h=\min\left\{a,\dfrac{b}{M}\right\}$ .

任取正整数 $n$ 和点列 $\{t_k\}$ ，其中 $t_0$ 就是初值条件所给，

$t_k+t_0+\dfrac{kh}{n},\,k=\pm1,\,\pm2,\cdots,\pm n,$

从而将区间 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 分成 $2n$ 等份.

如同所示，从初始点 $P_0:(t_0,x_0)$ 出发按方向

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=f(t_0,x_0)$

演唱直线段到第一个分点 $t=t_1$ 处，这个直线段可以表述为

$x=x_0+f(t_0,x_0)(t-t_0),\,t\in[t_0,t].$

从新的端点 $P_1:(t_1,x_1)$ 开始，其中 $x_1=x_0+f(t_0,x_0)(t-t_0)$ ，再按新的方向

$\dfrac{\text{d}x}{\text{d}t}=f(t_1,x_1)$

作直线段

$x=x_1+f(t_1,x_1)(t-t_1),\,t\in[t_1,t_2]$ ,

$\cdots$ ，如此下去，我们将得到端点 $P_2:(t_2,x_2),\cdots,P_n:(t_n,x_n)$ ，其中 $t_n=t_0+h$ ，而

$x_n=x_{n-1}+f(t_{n-1},x_{n-1})(t_n-t_{n-1}).$

同理向左也可以作出类似折线. 这样我们得到折现表达式

$\varphi_n(t):=\begin{cases} x_0+\displaystyle\sum_{k=0}^{s-1}f(t_k,x_k)(t_{k+1}-t_k)\\ \quad\;+f(t_s,x_s)(t-t_s),\;t\in[t_s,t_{s+1}),\\ x_0+\displaystyle\sum_{k=-s+1}^0f(t_k,x_k)(t_{k-1}-t_k)\\ \quad\;+f(t_{-s},x_{-s})(t-t_{-s}),\;t\in(t_{-s-1},t_{-s}], \end{cases}\quad(5.11)$

其中 $s=0,1,\cdots,n-1$ . 注意到当 $s=0$ 时，上面 $\varphi_n(t)$ 在区间 $[t_s,s_{s+1})$ 上的表达式中的求和为由 $k=0$ 到 $k=-1$ ，这时求和结果应该理解为 0. 当 $t\in(t_{-1},t_0]$ 时情况类似.

第二步

证明序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 的收敛性. 这里我们需要 Ascoli-Arzela 引理.

函数列 $\{f_k(t)\}$ 称为在有界闭区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致有界的，如果存在常数 $M_0>0$ ，使得对任意正整数 $k$ 都有 $|f_k(t)|\leqslant M，\,\forall\,t\in[\alpha,\,\beta]$ . 函数列 $\{f_k(t)\}$ 称为在有界闭区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上等度连续的，如果对任给的 $\varepsilon>0$ ，存在仅与 $\varepsilon$ 有关的常数 $\delta(\varepsilon)>0$ ，使得对任意正整数 $k$ ，只要当 $t,s\in[\alpha,\beta]$ 且 $|t-s|<\delta(\varepsilon)$ 时，就有 $|f_k(t)-f_k(s)|<\varepsilon$ . 由定义可知，一致有界的函数族中每一个函数都是有界函数；等度连续的函数族中每一个函数都是一致连续的. 但反之却不一定对.

引理 5.1（Ascolo-Arzela引理）

定义在有界闭区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的一致有界且等度连续的无穷函数 $\mathscr{F}=\{f(t)\}$ 必存在一个在 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛的子序列.

引理证明见最后.

对任意 $n$ ，折线段 $\varphi_n(t)$ 显然停留在矩形区域 $R$ 内，因此序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 是一致有界的. 进而，折线段 $\varphi_n(t)$ 夹在过点 $(t_0,x_0)$ ，斜率分别为 $M$ 及 $-M$ 的两直线所限定的角域内，即

$|\varphi_n(t)-\varphi_n(s)|\leqslant M|t-s|,$

因此等度连续. 由 Ascoli-Arzela 引理，序列 $\{\varphi_n(t)\}$ 中有子序列 $\{\varphi_{n_k}(t)\}$ 一致连续. 设

$\displaystyle\lim_{k\to\infty}\varphi_{n_k}(t)=\varphi(t),\,t\in I\quad(5.12)$

第三步

证明函数 $\varphi_n(t)$ 满足

$\displaystyle\varphi_n(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\text{d}\tau+\sigma_n(t)\quad(5.13)$

其中 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_n(t)=0,t\in I$ . 为了简单起见，我们只在区间 $[t_0,t_0+h]$ 上证明这一结论，在区间 $[t_0-h,t_0]$ 上的证明完全类似.

观察（5.11）中的每一项，易见对 $k=0,1,\cdots,s-1$ 及 $t\in[t_s,t _{s+1}]$ ，有

$\begin{aligned} &f(t_k,x_k)(t_{k+1}-1t_k)\\ =&\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(t_k,x_k)\text{d}\tau\\ =&\int_{t_k}^{t_{k+1}}f(\tau,\varphi_n(\tau))\text{d}\tau+d_n(k)\\\\ &f(t_s,x_s)(t-t_s)\\ =&\int_{t_s}^tf(t_s,x_s)\text{d}\tau\\ =&\int_{t_s}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\text{d}\tau+d^{*}_n(t). \end{aligned}$

其中

$\displaystyle d_n(k):=\int_{t_k}^{t_{k+1}}\left[f(t_k,x_k)-f(\tau,\varphi_n(\tau))\right]\text{d}\tau\quad(5.14)$

$\displaystyle d_n^{*}(t):=\int_{t_s}^t\left[f(t_s,x_s)-f(\tau,\varphi_n(\tau))\right]\text{d}\tau\quad(5.15)$

这样在（5.11）中利用积分逐段可加的性质，得到

$\displaystyle\varphi_n(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi_n(\tau))\text{d}\tau+\sigma_n(t),t\in[t_0,t_0+h]\quad(5.16)$

注意到 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} d_{n}(k)=0,\lim_{n\to\infty}d^{*}_n(t)=0.$ 事实上，对任给的 $\varepsilon>0$ ，由 $f$ 的连续性，存在 $\delta>0$ ，使得当 $|\tau-t_k|<\delta,|\varphi_n(\tau)-x_k|<\delta$ 时有

$|f(t_k,x_k)-f(\tau,\varphi_n(\tau))|<\dfrac{\varepsilon}{h}.$

当 $n$ 充分大时，显然可使得 $|t_{k+1}-t_k|=\dfrac{h}{n}<\delta$ ，并且由（5.10）的同样道理可以使得

$|\varphi_n(\tau)-x_k|\leqslant M|\tau-t_k|\leqslant \dfrac{Mh}{n}<\delta$ .

因此由（5.14）知， $|d_n(k)|<\dfrac{\varepsilon}{n}$ . 同理从（5.15）知，当 $n$ 充分大时， $|d^{*}_n(t)|<\dfrac{\varepsilon}{n}.$ 由（5.16），当 $n$ 充分大时，

$|\sigma_n(t)|<\dfrac{s}{n}\varepsilon+\dfrac{\varepsilon}{n}\leqslant\varepsilon.$

因此 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\sigma_n(t)=0.$

第四步

由第二、三步结果，在（5.13）取子序列极限得

$\varphi(t)=x_0+\int_{t_0}^tf(\tau,\varphi(\tau))\text{d}\tau,\;t\in I,$

即 $\varphi(t)$ 满足初值问题（5.4）的等价积分方程. 从而证明了定理.

从集合的角度考虑，Euler 折线法给出了一种逼近积分曲线的方法. 定义在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上的函数 $x=\varphi(t)$ 称为初值问题（5.4）在这个区间上的 $\varepsilon$ -逼近解，如果它满足条件

（1） $\varphi(t)$ 在区间 $[\alpha,\,\beta]$ 上连续，并且除了 $[\alpha,\,\beta]$ 上有限个点外， $\varphi(t)$ 处处连续可微，而在这有限个点处 $\varphi(t)$ 的左右导数都存在；
（2）当 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 时， $(t,\varphi(t))$ 落在矩形区域 $R$ 内；
（3）当 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 时

$\left|\dfrac{\text{d}\varphi(t)}{\text{d}t}-f(t,\varphi(t))\right|\leqslant\varepsilon,$

这里当 $\varphi(t)$ 的微商不存在且 $t\not=\beta$ 时， $\dfrac{\text{d}\varphi(t)}{\text{d}t}$ 是指 $\varphi(t)$ 的右导数， $t=\beta$ 时， $\dfrac{\text{d}\varphi(t)}{\text{d}t}$ 是指 $\varphi(t)$ 的左导数.

我们在定理证明中事实上给出了这样的结论：若 $f(t,x)$ 在矩形区域

$R=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:|t-t_0|\leqslant a,|x-x_0|\leqslant b\}$

上连续，则对任意 $\varepsilon>0$ ，初值问题（5.4）在区间 $I=[t_0-h,t_0+h]$ 上存在 $\varepsilon$ -逼近解 $x=\varphi(t)$ ，且当 $t,s\in[t_0,t_0+h]$ 时有

$|\varphi(t)-\varphi(s)|\leqslant M|t-s|$ ,

其中 $h=\min\left\{a,\dfrac{b}{M}\right\},\;M=\max\{|f(t,x)|:(t,x)\in\mathbb{R}\}$ .

引理 5.1 的证明

由于 $\mathscr{F}=\{f(t)\}$ 在 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致有界，故存在 $M_0>0$ ，使得 $\forall \;f(t)\in\mathscr{F}$ ，都有当 $t\in[\alpha,\,\beta]$ 时， $|f(t)|\leqslant M_0$ . 所以 $\mathscr{F}$ 中的函数的图像都在矩形区域

$R_0=\{(t,x)\in\mathbb{R}^2:\alpha\leqslant t\leqslant\beta\,-M_0\leqslant x\leqslant M_0$

内.

取 $s_1=\dfrac{M_0}{2}$ ，由 $\mathscr{F}$ 在 $[\alpha,\,\beta]$ 上的等度连续性，存在 $\delta_1=\delta_1(s_1)>0$ ，使得 $\forall \;f(t)\in\mathscr{F}$ ，只要当 $t,\bar{t}\in[\alpha,\,\beta]$ 且 $|t-\bar{t}|<\delta_1$ 时，就有 $|f(t)-f(\bar{t})|\leqslant s_1$ . 用平行于坐标轴的直线将矩形区域 $R_0$ 分成有限多个高为 $s_1$ ，宽小于或等于 $\delta_1$ 的小矩形（如图）. 设以相邻两垂线为边界的竖直长条为 $A_1,A_2\cdots,A_m$ . 则 $\mathscr{F}$ 中每个函数的图像在每个这样的竖直长条上最多经过两个相邻的小矩形. 在 $A_1,A_2\cdots,A_m$ 中各取两个相邻的小矩形就构成了一个“高”为 $2s_1$ 的多边形. 显然这样的多边形只有有限个，而 $\mathscr{F}$ 中每个函数的图像都包含在某个这样的多边形中. 由于 $\mathscr{F}$ 是无穷函数族，故不存在多边形 $S_1$ ，它包含 $\mathscr{F}$ 中无穷多个函数的图像. 记 $\mathscr{F}$ 的这个无穷子集为 $\mathscr{F}_1=\{f^{(1)}(t)\}$ .

再取 $s_2=\dfrac{M_0}{2^2}$ ，由 $\mathscr{F}$ 再 $[\alpha,\,\beta]$ 上的等度连续性，存在 $\delta_2=\delta_2(s_2)>0$ ，使得 $\forall \,f(t)\in\mathscr{F}$ ，只要当 $t,\bar{t}\in[\alpha,\beta]$ 且 $|t-\bar{t}|<\delta_2$ 时，就有 $|f(t)-f(\bar{t})|\leqslant s_2$ . 用平行于坐标轴的直线将矩形区域 $R_0$ 分成有限多个“高”为 $s_2$ ，款小于或等于 $\delta_2$ 的小矩形. 类似地，至少存在一个包含在 $S_1$ 内、“高”为 $2s_2$ 的多边形 $S_2$ ，它包含 $\mathscr{F}_1$ 中无穷多个函数的图像. 记 $\mathscr{F}_1$ 的这个无穷子集为 $\mathscr{F}_2=\{f^{(2)}(t)\}$ .

一般地，假如已作出了“高”为 $2s_k=\dfrac{M_0}{2^{k-1}}$ 的多边形 $S_k$ 及图像含在 $S_k$ 内的无穷函数族 $\mathscr{F}_k=\{f^{(k)}(t)\}$ ，对 $s_{k+1}=\dfrac{M_0}{2^{k+1}}$ ，我们可以类似构造出一个包含在 $S_k$ 内“高”为 $2s_{k+1}$ 的多边形 $S_{k+1}$ ，它包含 $\mathscr{F}_k$ 中无穷多个函数的图像. 记 $\mathscr{F}_k$ 的这个无穷子集为 $\mathscr{F}_{k+1}=\{f^{(k+1)}(t)\}$ .

这样我们就得到一个函数族序列 $\mathscr{F_1,F_2,\cdots,F_k,\cdots}$ 满足性质：

（1） $\mathscr{F\supset F_1\supset\cdots\supset F_k\supset\cdots}$ ;
（2）对 $\mathscr{F}_k$ 中任意两个函数 $f_1^{(k)}(t)$ 和 $f_2^{(k)}(t)$ ，都有

$|f_1^{(k)}(t)-f_2^{(k)}(t)|\leqslant 2s_k=\dfrac{M_0}{2^{k-1}},\,t\in[\alpha,\,\beta].$

在 $\mathscr{F_1}$ 中任取一个函数 $f_1(t)$ ，在 $\mathscr{F_2}$ 中任取一个不同于函数 $f_1(t)$ 的函数 $f_2(t),\cdots$ ，在 $\mathscr{F_k}$ 中任取一个不同于函数 $f_1(t),\cdots,f_{k-1}(t)$ 的函数 $f_{k}(t)$ ，如此继续下去. 因为 $\mathscr{F_1,F_2,\cdots,F_k,\cdots}$ 均为无穷集合，故这一过程可一直进行下去. 由此我们得到 $\mathscr{F}$ 的一个子序列 $\{f_n(t)\}\,(n=1,2,\cdots)$ 满足：对任意的正整数 $k$ 和 $l$ ，

$|f_k(t)-f_{k+l}(t)|\leqslant\dfrac{M_0}{2^{k-1}},t\in[\alpha,\,\beta].$

由 Cauchy 收敛准则， $\{f_n(t)\}$ 在 $[\alpha,\,\beta]$ 上一致收敛. 引理证毕.

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微分方程-Peano 存在性定理

Peano 存在性定理

定理 5.2（Peano 存在性定理）

证明

第一步

第二步

引理 5.1（Ascolo-Arzela引理）

第三步

第四步

引理 5.1 的证明

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