距离度量以及性能评估方法

一.距离度量

对于聚类，其实之前已经有算法涉及了，比如GMM，这一章开始再次做系统介绍。聚类的核心思想套用一句俗语：“物以类聚，人与群分”，这里面首先有一个“距离”的概念，“聚”是因为“距离近”，“分”是因为“距离远”，下面将常用的“距离”罗列一下，首先定义，样本x_i=(x_{i1},x_{i2},...,x_{in})与样本点x_j=(x_{j1},x_{j2},...,x_{jn})

明科夫斯基距离

d_{ij}=(\sum_{k=1}^n \left|x_{ik}-x_{jk}\right|^p)^{\frac{1}{p}}

这里，p\geq 1，当p=2时称为欧氏距离，p=1称为曼哈顿距离，p=\infty称为切比雪夫距离，这时：

d_{ij}=\max_{k}\left|x_{ik}-x_{jk}\right|

马氏距离

d_{ij}=\left[(x_i-x_j)^TS^{-1}(x_i-x_j)\right]^{\frac{1}{2}}

这里，S为整个样本集X=(x_{ij})_{m\times n}的协方差矩阵

相关系数

r_{ij}=\frac{(x_i-\bar{x_i})^T(x_j-\bar{x_j})}{[(x_i-\bar{x_i})^T(x_i-\bar{x_i})\cdot (x_j-\bar{x_j})^T(x_j-\bar{x_j})]^{\frac{1}{2}}},\bar{x_i}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_{ik},\bar{x_j}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^nx_{jk}\\ d_{ij}=1-r_{ij}

夹角余弦

s_{ij}=\frac{x_i^Tx_j}{[x_i^Tx_i\cdot x_j^Tx_j]^{\frac{1}{2}}}\\ d_{ij}=1-s_{ij}

二.类的定义

有了“距离”的定义，我们就可以进一步定义类了，设T为给定的正数，若样本集合G中任意两个样本x_i,x_j，有：

d_{ij}\leq T

三.性能评估

接下来，我们继续考虑聚类效果的好坏评估标准，显然需要符合我们期望的“物以类聚，人以群分”，有了“距离”的定义之后，我们可以换一个表述：类内距离尽可能小，类间距离尽可能大，所以我们进一步需要对类内距离和类间距离做一个定义

类内距离

类内最大距离

类中任意两个样本之间的最大距离
diam(G)=\max_{x_i,x_j\in G}d_{ij}

类内平均距离

类内任意两样本之间距离的均值

avg(G)=\frac{1}{n_G(n_G-1)}\sum_{x_i\in G}\sum_{x_j\in G}d_{ij}

散布矩阵

A_G=\sum_{i=1}^{n_G}(x_i-\bar{x_G})(x_i-\bar{x_G})^T,\bar{x_G}=\sum_{i=1}^{n_G}x_i

协方差矩阵

S_G=\frac{1}{n-1}A_G

这里，n为样本的维数

类间距离

设两类分别为G_q和G_p

最短距离

d_{min}(G_p,G_q)=\min\{d_{ij}\mid x_i\in G_p,x_j\in G_q\}

最长距离

d_{max}(G_p,G_q)\max\{d_{ij}\mid x_i\in G_p,x_j\in G_q\}

中心距离

d_{cen}(G_p,G_q)=d_{\bar{x}_p\bar{x}_q}
这里，\bar{x}_p和\bar{x}_q分别为类G_p和G_q的中心点

平均距离

d_{avg}(G_p,G_q)=\frac{1}{n_{G_p}n_{G_q}}\sum_{x_i\in G_p}\sum_{x_j\in G_q}d_{ij}

性能评估

所以，我们在此基础上可以构造既能反映类内距离，又能反映类间距离的指标

DB 指数

DBI=\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k\max_{j\neq i}(\frac{avg(G_i)+avg(G_j)}{d_{cen}(G_i,G_j)})

显然，DBI越小越好

Dunn指数

DI=\min_{1\leq i\leq k}\left\{\min_{j\neq i}(\frac{d_{min}(G_i,G_j)}{\max_{1\leq l\leq k}diam(G_l)})\right \}

显然，DI越大越好

轮廓系数

SCI=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\frac{b(x_i)-a(x_i)}{max(b(x_i),a(x_i))}

其中，a(\cdot)表示当前样本与簇内其他样本的平均距离，所以a(\cdot)越小，反映了该簇越聚集，b(\cdot)表示当前样本与其他簇的平均距离的最小值，所以b(\cdot)越大，表示与其他簇越分离，而轮廓系数SCI便是所有样本轮廓系数的均值，可以看出SCI越大越好

则称G为一个类（簇）

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