部分分式展开

函数

$F(x)=\frac{G(x)}{H(x)} \\G(x)=\Sigma_{k=0}^mb_kx^k,H(x)=x^n+\Sigma_{k=0}^{n-1}a_kx^k$

部分分式

真分式

$m<n$

无重根

此时 $H(x)$ 可以分解为：
$H(x)=\Pi_{k=1}^n(x-x_k) \\ \therefore F(x)=\Sigma_{k=1}^n\frac{K_k}{x-x_k}$
$K_k$ 为各个有理分式的待定系数，下面用掩盖法求解：
$\begin{aligned} (x-x_l)F(x)&=(x-x_l)\Sigma_{k=1}^n\frac{K_k}{x-x_k}\\ &=K_l+\Sigma_{k=1\\k\ne l}^n\frac{(x-x_l)K_k}{x-x_k} \end{aligned}$
令 $x=x_l$ ，即得 $K_l$

例题1：
分解 $\frac{4x-1}{x^2+x-2}$ ：
原式 $=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}$
$\frac{4x-1}{(x-1)(x+2)}=A+\frac{(x-1)B}{x+2}$
令 $x=1$ ，则 $A=1$ ；同理 $B=3$
$\therefore \frac{4x-1}{x^2+x-2}=\frac{1}{x-1}+\frac{3}{x+2}$

例题2：
分解 $\frac{2x^2+2x+5}{(x+1)(x^2+4)}$ ：
原式 $=\frac{A}{x+1}+\frac{Bx+c}{x^2+4}$
易知 $A=1$ ，求 $B$ 和 $C$ ：
令 $x^2+4=0$ ，有 $\frac{2x^2+2x+5}{(x+1)}=Bx+C$ ，代入 $x=2i$
$\therefore 2i+1=2Bi+1$
$\therefore B=1, C=1$

有重根

设 $H(x)=0$ 有 $p$ 重根 $x=x_1$
则 $H(x)=(x-x_1)^p\Pi_{k=p+1}^n(x-x_k)$
$F(x)=\Pi_{k=1}^p\frac{K_{1k}}{(x-x_1)^k}+\Pi_{k=p+1}^n\frac{K_k}{(x-x_k)}$
$\therefore (x-x_1)^pF(x)=\Pi_{k=1}^pK_{1k}+\Pi_{k=p+1}^n\frac{(x-x_1)^pK_k}{(x-x_k)}$
求 $q$ 次导， $q$ 是 $0$ 到 $p$ 之间的非负整数，并令 $x=x_1$ 。
$\begin{aligned} \left\{ \frac{d^q}{dx^q}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}&=\Sigma_{k=1}^pK_{1k}(x-x_1)^{p-k-1} \Pi_{l=0}^{q-1}(p-k-l)\\ &=K_{1(p-q)}\Pi_{l=0}^{q-1}(q-l)\\ &=q!K_{1(p-q)} \end{aligned}$
令 $q \to p-q$ 有：
$\left\{\frac{d^{p-q}}{dx^{p-q}}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}=(p-q)!K_{1q}$
$\therefore K_{1q}=\frac{1}{(p-q)!} \left\{\frac{d^{p-q}}{dx^{p-q}}[(x-x_1)^pF(x)]\right\}|_{x=x_1}$

例题：
分解 $\frac{x^2+5x-2}{(x+1)^3}$
原式 $=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{(x+1)^2}+\frac{C}{(x+1)^3}$
$C=x^2+5x-2|_{x=-1}=-6$
$x^2+5x-2=A(x+1)^2+B(x+1)+c$
求导有 $2x+5=2A(x+1)+B$
令 $x=-1$ 则 $B=3$
再求导 $2=2A$ ， $\therefore A=1$
$\therefore \frac{x^2+5x-2}{(x+1)^3}=\frac{1}{x+1}+\frac{3}{(x+1)^2}+\frac{-6}{(x+1)^3}$

假分式

当 $m\ge n$ 时， $F(x)$ 为假分式，用长除法转化为多项式与真分式的和。

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函数

部分分式

真分式

无重根

有重根

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