初中代数（七）：根式

二次根式：一般地，我们把形如 \sqrt{a} (a ≥ 0) 的式子叫做二次根式

  • 双重非负性：a ≥ 0, \sqrt{a} ≥ 0
  • a 可以是常数，也可以是式子(整式或分式)，但是必须大于等于 0
  • a 是分式的时候，要保证分式的分母不为 0

\sqrt{3}，\sqrt{\frac{h}{5}} (h ≥ 0), \sqrt{x^{2} + 1}, \sqrt{\frac{1}{1 - 2a}} (a < \frac{1}{2}) 都是二次根式

二次根式的性质：

  1. (\sqrt{a})2 = a (a ≥ 0)

  2. \sqrt{a^{2}} = |a|

练习题：

例1：\sqrt{x^{2} - 6x + 9} + \sqrt{x^{2} + 2x + 1} (-1 < x < 3)
解：原式 = \sqrt{(x-3)^{2}} + \sqrt{(x + 1)^{2}} = |x - 3| + |x + 1|
∵ -1 < x < 3
∴ 原式 = -(x - 3) + (x + 1) = -x + 3 + x + 1 = 4

二次根式的乘法法则：

①：\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab} (a ≥ 0, b ≥ 0)
②：\sqrt{ab} = \sqrt{a} · \sqrt{b} (a ≥ 0, b ≥ 0)

利用法则 ① 计算，利用法则 ② 化简

练习题：

例1：计算 \sqrt{3xy^{2}} · \sqrt{\frac{1}{3}xy} (x ≥ 0, y ≥ 0)
解：原式 = \sqrt{3xy^{2} · \frac{1}{3}xy} = \sqrt{x^{2}y^{3}} （先计算）
= \sqrt{x^{2} · y^{2} · y} = \sqrt{x^{2}} · \sqrt{y^{2}} · \sqrt{y} = xy\sqrt{y} (再化简)

二次根式的除法法则：

①：\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} (a ≥ 0, b > 0)
②： \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} (a ≥ 0, b > 0)

利用法则 ① 计算，利用法则 ② 化简

最简二次根式：

  • 被开方数不含分母(且分母中不含二次根式)
  • 被开方数不含能开得尽方的因数或因式

\frac{\sqrt{15}}{5}, \frac{\sqrt{6}}{3}, \frac{2\sqrt{a}}{a} 都是最简二次根式

\sqrt{\frac{2}{3}}, \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}, \frac{\sqrt{8}}{5} 都不是最简二次根式

练习题：

例1：\sqrt{\frac{2}{3}}，被开方数含有分母，不是最简二次根式
解：原式 = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} · \sqrt{3}}{\sqrt{3}·\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}

例2：\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}，分母中含有二次根式，不是最简二次根式
解：原式 = \frac{\sqrt{2} · \sqrt{5}}{\sqrt{5} · \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}}{5}

例3：\frac{\sqrt{8}}{5}，被开方数没开尽，不是最简二次根式
解：原式 = \frac{\sqrt{2^{3}}}{5} = \frac{2\sqrt{2}}{5}

同类二次根式：被开方数相同，即为同类二次根式

3\sqrt{2} 与 \sqrt{2} 就是同类二次根式

二次根式加减法法则：

  1. 化简二次根式为最简根式
  2. 合并同类二次根式

练习题：

例1：\sqrt{75} - \sqrt{3}
解：原式 = \sqrt{25 × 3} - \sqrt{3} = 5\sqrt{3} - \sqrt{3} = 4\sqrt{3}

例2：3\sqrt{48} - 9\sqrt{\frac{1}{3}} + 3\sqrt{12}
解：原式 = 3\sqrt{3 × 16} - 9 × \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}} + 3\sqrt{3 × 4}
=12\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 6\sqrt{3} = 15\sqrt{3}

最后编辑于 ：
©著作权归作者所有,转载或内容合作请联系作者
【社区内容提示】社区部分内容疑似由AI辅助生成，浏览时请结合常识与多方信息审慎甄别。
平台声明：文章内容（如有图片或视频亦包括在内）由作者上传并发布，文章内容仅代表作者本人观点，简书系信息发布平台，仅提供信息存储服务。

相关阅读更多精彩内容

  • 二次根式的加减
    一.教学目标： 知识与技能目标：二次根式加法的运算法则 过程与方法目标：学生通过类比整式加法的过程熟练进行二次根式...
    天镇025薛梅阅读 3,860评论 0赞 0
  • 原创15:二次根式2
    记北师版八上数学教材第二章第7节第2课时 本课基于二次根式的性质得到二次根式乘除法法则，再合情推导出加减运算法则，...
    昱溪_32d6阅读 5,617评论 0赞 0
  • 初中数学知识点整理快速记忆法
    有理数的加法运算：同号相加一边倒；异号相加“大”减“小”，符号跟着大的跑；绝对值相等“零”正好 【注】“大”减“小...
    沪江中小幼阅读 3,365评论 0赞 6
  • 知识汇总 | 八年级数学
    根据《义务教育数学课程标准（2011年版）》，数学是研究数量关系和空间形式的科学。根据百度百科，数学是研究数量、结...
    进士及第阅读 7,136评论 0赞 1
  • 原创16:二次根式3
    本节课进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生应用法则的灵活性和解决问题...
    昱溪_32d6阅读 4,371评论 0赞 0

友情链接更多精彩内容