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这一章就是简缩版的数学史，数学史是实际需要或思维需要推动数学发展的历史，其中充斥着“再创造”，下面从这两个角度出发对本章进行梳理。

一、实际需要还是思维需要？

（一）实际需要

我们大数学家华罗庚曾经说过：“数（shù）源于数（shǔ），量（liàng）源于量（liáng）”。清楚地说出了我们的数学产生于实际的需要，数学不但产生于实际的需要，而且确实可以满足我们的许多实际需要。

对于数学的诞生，巴比伦的计算员、勘测员、商人、货币兑换商、银行职员、出版商、桥梁道路与城市的建造者等各类人物都起过催生的作用，每一个行业都出于自己的需要使用数学，在使用的过程中数学得到了发展。

人类的第二门学科——天文学，更是一门实用的科学。而且因为人不能虚构星辰（不能像虚构一道数学题那样），所以在天文学上数学得到了很好的应用。

印度人、阿拉伯人和中世纪僧侣们所重建的数学主要产生于应用，十进制法就是印度的发明。

而到了19世纪，数学得到了越来越多的应用，现在被称为“数学物理”的广阔领域就产生于数学的应用。

（二）思维需要

数学产生于实际需要是确定的，但数学的蓬勃发展绝非实际需要单独作出的，事实恰恰是如果数学没有在某种程度上脱离实际需要的限制，绝不会有今天这样的成就。

数学的诞生离不开实际需要，但我们在巴比伦人的手稿中发现了那些毫无用处的线性方程和二次方程。

在古代埃及，数学迅速地、而且大幅度地超过了实际的需要。那些本来是因为职业而与数学发生关系的计算师、测绘员在业余时间如此热衷于拿数字和图形做游戏，揭发它们的秘密，探测它们的奥秘，除了思维本身的兴趣，还能有什么原因？

希腊数学家Apollonius发现了圆锥曲线，但是这一发现在其后的两千年中都是毫无实用价值的，直到开普勒发现行星的轨道的椭圆时，才得到应用。

16世纪数学的兴旺是与技术分不开的，但并非需要更高超的数学来提高技术，而是因为一系列重大发明（包括印刷术）为人类提供的探索自然的信心，人类对自己是充满信心的，对自己的思维力量是充满信心的。正是人对自己思维力量信心，推动了数学的兴旺发展。

（三）实际需要和思维需要的结合

在数学史上，对数学发展的推动，有时实际需要扮演了更重要的角色，有时思维需要起了更为重要的作用。但纵观整个数学史，数学的发展是离不开这两者的任何一方的。

重思维、重形式的毕达哥拉斯学派，就因为发现了与自然数不可公度的数（无理数），就把整个代数驱除出数学，从此独尊几何。因此数学在代数上的发展就停滞了，直到16世纪的笛卡尔解析几何的出现，代数才重现生机。试想下，如果毕达哥拉斯学派也是重实用的，那么他就不可能取消那具有重要实用价值的代数，如此或许他们就会试着去寻找如何调和代数和几何（他们确实这样去做了，但结果是不理想的），或许就不需要等到16世纪的笛卡尔。

罗马500年的历史在数学史上却几乎是一片空白，当罗马烧毁了亚历山大图书馆时就注定了他们的数学史（科学史）将是一片空白。罗马只重实用，所以他们留下了许多著名的建筑，但罗马是轻视思维的。在东方，有一个民族也如此类似，那就是我们中华民族，中华民族也是一个只重实用的民族，在我看来，我们在数学史上是不值一提的，正视这一点对我们的数学教育是有利的（而不是因为所谓的民族情结，抱着杨辉三角、勾股定理不放）。

从早期的巴比伦和埃及我们看到了实际需要和思维需要的结合。数学产生于实际需要，但实际需要一般极快地得到了满足，数学却不会因此而停滞，数学会继续发展（更为自由），这时数学发展的动力来自思维需要。

二、数学发展中的“再创造”

我们再来重温下序言对“再创造”的定义：

的确，你不该把你的数学成果按照你发现它的那种过程去向别人讲解，而要采取另一种方式，即设想你当时已经有了现在的知识，你将是怎样发现这些成果的；或者设想一个学生的学习过程得到指导时，他是应该怎样发现它的。

在梳理序言时，我对现在的知识存在困惑（对于一个具体的数学家而言，从他初次接触某一数学问题到作出一定的数学成果，虽然是要耗费一定时间的，但这段时间应该构成不了原先知识和现有知识的巨大差别，也就是新的数学成果并不一定要以现有的知识进行新的阐发），经过这一章的阅读，我认为到这种对数学成果的“再创造”一般不是同一个数学家作出的，而且一个人（一些人）创造了一些数学成果，另一个人（另一些人）将这些数学成果整理并流传下来（再创造）。

著名的毕达哥拉斯定理其实并不是毕达哥拉斯学派的创造，而是在希腊人之前两千年的巴比伦就已经知道了，毕达哥拉斯学派只是将之编写成一个相对完整的体系。

欧几里得的《几何原本》是从定义、公设与公理开始的，但这不是欧几里得的创造，这种由一些原理出发来处理几何的习惯至少在欧几里得《几何原本》的一百年前就已存在。欧几里得《几何原本》中有些部分看起来很像现代数学，这些部分通常被认为是欧多克斯的杰作。欧几里得《几何原本》中也有一些部分演绎结构薄弱，实际上，欧几里得《几何原本》是一种编撰之作。

对数学发展而言，这种编撰（“再创造”）是很重要的，如果没有“再创造”，那种重要而散乱的数学成果，特别是暂时没有使用价值的数学成果很可能就被遗忘了。这方面的例子我们是举不出来的（因为已经遗忘），不过“微积分”的发现或许可以给我们一些启示：

18世纪，一些大数学家——牛顿、莱布尼茨、贝努利家族、欧拉、拉格朗日、拉普拉斯等献身于无限小运算，不断地作出改进。但是，在整个18世纪，没有学校开过微积分课。如果微积分是在几个世纪以前被创造而又不在学校里施教的话，它一定消失得无影无踪了。但好在，18世纪的印刷术已经非常发达了，这些大数学家们把自己的成果记录在书籍中（这是原创的再创造），当时这些书籍是鲜少有人问津的，但在19世纪大学的发展很好地弥补了这种缺陷。

由此，我们是否可以断言，在印刷术还处在比较落后水平的年代，有很多的类似“微积分”这样的伟大的数学创造被人遗忘了，这成了数学史上的永远没有答案的迷案。我相信，随着现代记录方式的便捷，信息交流的快速，这类重要数学成果被遗忘的情况不会再发生了。

但在数学教育领域，仍然存在“创造力”遗失的风险。在学校里，我们的孩子知识增长了，但“创造力”没有相应的增长，反而处在不断地下降之中。没有“创造力”的民族，是一个没有生气的民族。而弗氏的“再创造”数学教育哲学为我们提供了一条出路。