相似矩阵、对角化

相似矩阵

定义

如果矩阵 $A,B$ 存在 $P^{-1}AP=B$ ，则称 $A,B$ 互为相似矩阵（记作 $A\sim B$ ）， $A,B$ 的转换是相似转换。

性质

相似矩阵的行列式相等。
相似矩阵的特征值和特征方程相同，行列式和迹也相同。
相似具有反身性、对称性、传递性。
$A\sim B$ ， $A$ 可逆则 $B$ 可逆，且逆也相似。
$A\sim B$ ，则 $A^n\sim B^n$ 。

应用

计算矩阵的n次方
计算对角化

对角化

当且仅当矩阵 $A_{n\times n}$ 有n个线性独立的特征向量， $A$ 可对角化。
如果 $D$ 是一个对角矩阵，且 $A=PDP^{-1}$ ，当且仅当 $P$ 的n列是 $A$ 的n个线性独立的特征向量。
（接上） $D$ 的n个主元就是对应于 $P$ 的n列的 $A$ 的特征向量的特征值。

当且仅当 $A_{n\times n}$ 存在 $n$ 个特征向量，且 $n$ 个特征向量张成 $\mathbb{R}^n$ ， $A$ 可对角化。

这句话可以写成

$A$ 有 $n$ 个不同的特征向量。
或者， $A$ 存在重复的特征值,每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数。

证明：

召唤矩阵 $P=[\vec{v}_1\ \vec{v}_2 \ \cdots\ \vec{v}_n]$

$D=diag[\lambda_1\ \lambda_2\ \cdots\ \lambda_n]$

从而有 $AP=A[\vec{v}_1\ \vec{v}_2 \ \cdots\ \vec{v}_n]=[A\vec{v}_1\ A\vec{v}_2 \ \cdots\ A\vec{v}_n]$

且
$PD=P \left(\begin{matrix} \lambda_1\\ &\lambda_2\\ &&\ddots\\ &&&\lambda_n \end{matrix}\right) =[\lambda_1\vec{v}_1\ \lambda_2\vec{v}_2 \ \cdots\lambda_n\vec{v}_n]$
由于 $AP=PD$

从而有 $A\vec{v}_i=\lambda_i\vec{v}_i$

证毕

如何将一个矩阵对角化？

召唤一个矩阵
$A=\left(\begin{matrix} 1&3&3\\ -3&-5&-3\\ 3&3&1 \end{matrix}\right)$
第一步，得到特征值

$−λ^3 − 3λ^2 + 4 = −(λ − 1)(λ + 2)^2 = 0$

从而有两解（1，-2），且重数为2.

进而得到三个特征向量
$\vec{v}_1=\left(\begin{matrix} 1\\-1\\1 \end{matrix}\right)\ \vec{v}_2=\left(\begin{matrix} 1\\-1\\0 \end{matrix}\right)\ \vec{v}_3=\left(\begin{matrix} 1\\0\\-1 \end{matrix}\right)$

这里有三个线性独立的向量，所以 $A$ 可对角化

构成 $A$ 的一组基，所以有
$P=\left(\begin{matrix} 1&1&1\\ -1&-1&0\\ 1&0&-1 \end{matrix}\right)\\ D=\left(\begin{matrix} 1\\ &-2\\ &&-2 \end{matrix}\right)$

几何重数和代数重数

代数重数

代数重数是指对于某个特征值λ，它实际上是一个n重根，则此特征值λ的代数重数就是n。

几何重数

几何重数是指对于某个特征值λ，它对应的特征空间的维度是m，则此特征值的几何重数就是m。

几何重数≤代数重数。可以这么理解：

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