开刷：《信号与系统》 Lec #19 离散时间信号采样

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.350 - p.357

1. 脉冲串采样

和连续时间脉冲串采样一样，离散时间序列脉冲串采样也是原始信号 $x[n]$ 与脉冲串 $p[n]$ 相乘，如下图所示。

离散时间采样

从频域上看，离散时间采样与连续时间采样也是类似的，公式分析如下，

$x_p[n] = x[n] p[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[kN] \delta [n-kN]$

那么 $x_p[n]$ 的傅里叶变换可以写作（离散时间的频率变量可以写作 $j \Omega$ ，也可以表示为 $e^{j \omega}$ ，我这里用 $j \Omega$ ），

$X_p (j \Omega) = \frac{1}{2 \pi} \int_{2 \pi} P(j \theta) X(j (\Omega - \theta)) \mathrm{d} \theta$

还记得连续时间下冲激串信号 $p(t)$ 的傅里叶变换表达吗？

$P(j \omega) = \frac{2 \pi}{T} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \delta (\omega - k {\frac{2\pi}{T}})$

在离散时间下脉冲串 $p[n]$ 的傅里叶变换也有相似的表达，就是简单的把 $T$ 换成 $N$ 即可，

$P(j \Omega) = \frac{2 \pi}{N} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \delta (\omega - k {\frac{2\pi}{N}}) = \frac{2 \pi}{N} \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} \delta (\omega - k \Omega _s)$

将 $P(j \Omega)$ 代入 $X_p (j \Omega)$ 可得，

$X_p (j \Omega) = \frac{1}{N} \sum_{k = 0}^{N-1} X(j (\Omega - k {\Omega _s}))$

注意上面的求和范围是从0到 $N-1$ ，因为第 $N$ 个 $X(j \Omega)$ 复制就在 $2 \pi$ 的位置，与 $X(j \Omega)$ 本身重合了，所以求和范围只有0到 $N-1$ 。画出频谱图更加一目了然，如下图所示，

离散时间信号被脉冲串采样后的频谱图

混叠这个概念也是与连续时间一样，当 $\Omega _s - \Omega _M > \Omega _M$ 即 $\Omega _s > 2 {\Omega _M}$ 时，没有混叠发生，利用一个理想滤波器可以把原始信号从采样后的信号中恢复出来；相反，如果 $\Omega _s < 2 {\Omega _M}$ ，就会发生混叠，这样无法恢复原始信号。

从频域看原始信号的重建过程如下图所示，

从频域看利用理想低通滤波器由采样后信号重建原始信号

现在我们从时域来看理想低通滤波器由采样后的信号 $x_p[n]$ 如何重建原始信号 $x[n]$ 。有一个理想低通滤波器，通带增益为 $N$ ，截止频率为 $- \Omega _c$ 到 $+ \Omega _c$ ，那么这个滤波器的单位脉冲响应 $h[n]$ 为，

$h[n] = N \cdot \frac{\Omega _c}{\pi} \frac{{\sin} {\Omega _c} n}{{\Omega _c} n}$

那么理想低通滤波器的输出也就是重建新号 $x_r[n]$ 可以表示为，

$x_r[n] = x_p[n] * h[n] = \sum_{k = -\infty}^{+\infty} x[kN] \frac{N {\Omega _c}}{\pi} \frac{{\sin} {\Omega _c} (n-kN)}{{\Omega _c} (n-kN)}$

上式表示的是一种理想的带限内插，需要一个理想低通滤波器。现实生活中，一般使用更易获得的零阶保持或一阶内插。

2. 离散时间序列抽取与内插(decimation and interpolation)

2.1 抽取

观察这篇笔记的第一幅插图，我们可以看到采样后的信号 $x_p[n]$ 除了采样点之外都是0，而且我们是提前知道都是0，这样直接存储或者传输等处理 $x_p[n]$ 是很不经济的，因此往往用一个新序列 $x_b[n]$ 来代替 $x_p[n]$ ，在新序列 $x_b[n]$ 中，简单讲就是直接扔掉了 $x_p[n]$ 中的非采样点，即

$x_b[n] = x_p[nN]$

又因为 $x_p[n]$ 和原始信号 $x[n]$ 在 $N$ 的整数倍上都是相等的，那么

$x_b[n] = x_p[nN] = x[nN]$

这个过程就叫做抽取，从时域上看如下图所示，

样本点抽取

现在从频域上来看这个抽取的效果，首先公式分析，

$X_b(j \Omega) = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x_b[k] e^{-j \Omega k} = \sum_{k = - \infty}^{+ \infty} x_p[kN] e^{-j \Omega k}$

令 $n = kN$ ，或 $k = n/N$ ，那么上式可以写作，

$X_b(j \Omega) = \sum_{n为N的整数倍} x_p[n] e^{-j \Omega n/N}$

又因为当 $n$ 不是 $N$ 的整数倍时， $x_p[n] = 0$ ，所以上式中的求和可以从 $- \infty$ 到 $+ \infty$ ，不用局限在 $N$ 的整数倍，即

$X_b(j \Omega) = \sum_{n= - \infty}^{+ \infty} x_p[n] e^{-j \Omega n/N} = X_p(j \Omega /N)$

上式看出，抽取在频域上看就是频率尺度的变化（前提是信号不存在混叠），抽取的效果就是将原来序列的频谱扩展到一个较宽的频带，如下图所示，注意幅值也变为了原来的 $1/N$ 倍。

从频域看离散时间信号采样和抽取

如果序列 $x[n]$ 是经由连续时间信号采样得到，那么抽取过程可以看做在连续时间信号采样上，将采样率降低为 $1/N$ 的过程，也叫减采样。为了避免在抽取过程中引入混叠，原始信号 $x[n]$ 的频谱就不能占满整个频带；换句话说，如果一个序列能够被抽取而不引入混叠，那么原来的连续时间信号就是被过采样了的，从而原采样率可以减小而且不会引入混叠。

在一些应用中，即使已经在满足不引入混叠的条件下尽可能的低采样率采样了，而在经过其他处理后，序列的带宽进一步减小，那么从而就有可能进行减采样或抽取，如下图所示，

一个减采样的例子

上图中，一个带限连续时间信号被以奈奎斯特频率采样，那么采样后的离散时间序列的频谱是占满整个频带的，但是经过一个离散时间滤波器之后， $Y_d(j \Omega)$ 的带宽被缩小在了 $\vert \Omega \vert < \Omega _c$ ，这样就又存在了进行减采样的空间。

2.2 增采样(upsampling)或内插(interpolation)

增采样或者内插就是抽取的逆过程，分为两步，第一步是在原始信号点之间插入0，第二部用一个适当的理想低通滤波器对插入0后的信号进行插值，最终得到内插后的信号。从时域看和频域看如下图所示，

内插

上图中内插比例为2，从频域看就是频率缩小了2倍。注意内插完成后的信号幅值也变为了原始信号的2倍。

实际中，在抽取和内插或者说采样率变化过程中，大量情况都是两个有理数的比值 $p/q$ ，那么就需要抽取与内插，先后顺序不重要。如下图所示，(a)是一个原始序列的频谱，(b)是原始序列被减采样了4倍后的频谱，(c)是原始序列增采样2倍后的频谱，(d)是原始信号被增采样2倍后又减采样了9倍之后的频谱。

抽取与内插结合

最后编辑于：2020.11.20 15:38:46

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