课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.343 - p.350

这一节课的内容稍微抽象一点，不过看了视频两遍之后也就差不多明白老师在说什么了。。

简而言之就是时域中时间轴的归一化和频域中频率轴的归一化。

一个带限连续时间信号被采样后，是个冲激串函数 $x_p(t)$ ，分别位于时间轴上 $kT$ 的位置， $T$ 为采样周期， $k$ 为整数。 $x_p(t)$ 依然是一个连续时间函数，如何把 $x_p(t)$ 转换成离散时间序列(sequence)呢？同样的问题，离散时间序列在离散时间系统处理后依然是一个离散时间序列，如何由离散时间序列转换为连续时间信号呢？

1. 连续时间信号的离散化处理

为了进一步说明连续时间信号 $x_c(t)$ 和它的离散时间表示 $x_d[n]$ 之间的关系，可以把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程，再紧跟一个把冲激串映射为一个序列的环节，如下图所示。

连续时间信号转换为离散时间信号

从上图中可以看出，在位置 $T$ 处采样的信号，映射进离散时间就在位置 $n=1$ ，同样，在位置 $2T$ 处采样的信号，映射进离散时间就在位置 $n=2$ 。以此类推，连续时间冲激串映射进离散时间，就是时间轴除以采样周期 $T$ 。

那频域中如何变化呢？如下图所示，

连续时间信号和离散时间信号频谱比较

从图中可以看出，冲激串采样信号的频谱是原始信号的频谱在 $k \omega _s$ 位置的移位复制（当然频谱幅值有 $1/T$ 的变化），复制在 $2 \pi /T$ 位置的频谱，当映射进离散时间后，位置变为了 $2 \pi$ ，复制在 $4 \pi /T$ 的部分，位置变为了 $4 \pi$ 。以此类推，连续时间冲激串映射进离散时间，从频域看，就是频率轴乘以采样周期 $T$ 。这与时域与频域尺度变换的对偶性的直觉是一样的。

现在来看数学推导，这里我们用 $\omega$ 表示连续时间下的频率，用 $\Omega$ 表示离散时间下的频率。

$x_p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x_c(nT) \delta (t-nT)$

$X_p(j \omega) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} x_c(nT) e^{-j \omega n T}$

在离散时间下，有

$X_d(j \Omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_d [n] e^{-j \Omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c (nT) e^{-j \Omega n}$

所以，有

$X_d(j \Omega) = X_p(j \Omega / T)$

我们在笔记Lec#16学习采样时，知道采样后的冲激串信号的频谱表示为，

$X_p(j \omega) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} X_c(j(\omega - k \omega _s))$

所以得到，

$X_d(j \Omega) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} X_c(j(\Omega - 2 \pi k) / T)$

数学推导看看就行了，重要的是形成一个直觉，从连续时间映射到离散时间时所发生的时间轴和频率轴的scaling。

现在来看下面图中这个系统，

用离散时间滤波器处理连续时间信号

上图中系统各部分频谱

图(a)为原始信号频谱，图(b)为采样后冲激串的频谱，频谱发生位置在 $k \omega _s$ ，图(c)为映射进离散时间后 $x_d[n]$ 的频谱，发生位置在 $2 \pi k$ 。图(d)中画了两个频谱，除了 $x_d[n]$ 的频谱之外，是离散时间滤波器的频谱，这个滤波器的截止频率为 $\Omega _c$ ，那么经过这个滤波器之后的频谱就应该是图(d)中两个频谱的乘积，紧接着映射回连续时间，离散时间滤波器的截止频率被scale为 $\Omega _c /T$ ，如图(e)所示。最后经过连续时间滤波器，频谱如图(f)所示。

上图说明，一个离散时间滤波器在处理连续时间信号时，其截止频率会与连续时间信号的采样频率有关，换句话讲，离散时间滤波器在处理连续时间信号时，可以等效为一个连续时间滤波器，等效截止频率为 $\Omega _c /T$ 。

这篇笔记的分析前提是，被处理的连续时间信号具有有限带宽，且采样过程不发生混叠。

//2020.11.20更新：进行如下计算，解决一下评论里@Lenv12138 提到的问题

通过下面计算可以看出，由C/D后离散序列的频谱计算傅里叶逆变换，求得的离散时间序列具有和原始连续时间信号相同的幅值。

由C/D后的频谱计算傅里叶逆变换

开刷：《信号与系统》 Lec #18 连续时间信号的离散化处理

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1. 连续时间信号的离散化处理

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