开刷:《信号与系统》 Lec #18 连续时间信号的离散化处理

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版,刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到,搜索MIT的信号与系统,老师就是课本的作者。

0. 涉及内容

p.343 - p.350

这一节课的内容稍微抽象一点,不过看了视频两遍之后也就差不多明白老师在说什么了。。

简而言之就是时域中时间轴的归一化和频域中频率轴的归一化。

一个带限连续时间信号被采样后,是个冲激串函数x_p(t),分别位于时间轴上kT的位置,T为采样周期,k为整数。x_p(t)依然是一个连续时间函数,如何把x_p(t)转换成离散时间序列(sequence)呢?同样的问题,离散时间序列在离散时间系统处理后依然是一个离散时间序列,如何由离散时间序列转换为连续时间信号呢?

1. 连续时间信号的离散化处理

为了进一步说明连续时间信号x_c(t)和它的离散时间表示x_d[n]之间的关系,可以把从连续时间到离散时间的变换表示成一个周期采样的过程,再紧跟一个把冲激串映射为一个序列的环节,如下图所示。

连续时间信号转换为离散时间信号

从上图中可以看出,在位置T处采样的信号,映射进离散时间就在位置n=1,同样,在位置2T处采样的信号,映射进离散时间就在位置n=2。以此类推,连续时间冲激串映射进离散时间,就是时间轴除以采样周期T

那频域中如何变化呢?如下图所示,

连续时间信号和离散时间信号频谱比较

从图中可以看出,冲激串采样信号的频谱是原始信号的频谱在k \omega _s位置的移位复制(当然频谱幅值有1/T的变化),复制在2 \pi /T位置的频谱,当映射进离散时间后,位置变为了2 \pi,复制在4 \pi /T的部分,位置变为了4 \pi。以此类推,连续时间冲激串映射进离散时间,从频域看,就是频率轴乘以采样周期T。这与时域与频域尺度变换的对偶性的直觉是一样的。

现在来看数学推导,这里我们用\omega表示连续时间下的频率,用\Omega表示离散时间下的频率。

x_p(t) = \sum_{n = -\infty}^{+\infty} x_c(nT) \delta (t-nT)

X_p(j \omega) = \sum_{n = -\infty}^{+ \infty} x_c(nT) e^{-j \omega n T}

在离散时间下,有

X_d(j \Omega) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_d [n] e^{-j \Omega n} = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x_c (nT) e^{-j \Omega n}

所以,有

X_d(j \Omega) = X_p(j \Omega / T)

我们在笔记Lec#16学习采样时,知道采样后的冲激串信号的频谱表示为,

X_p(j \omega) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} X_c(j(\omega - k \omega _s))

所以得到,

X_d(j \Omega) = \frac{1}{T} \sum_{k = -\infty}^{+ \infty} X_c(j(\Omega - 2 \pi k) / T)

数学推导看看就行了,重要的是形成一个直觉,从连续时间映射到离散时间时所发生的时间轴和频率轴的scaling。

现在来看下面图中这个系统,

用离散时间滤波器处理连续时间信号
上图中系统各部分频谱

图(a)为原始信号频谱,图(b)为采样后冲激串的频谱,频谱发生位置在k \omega _s,图(c)为映射进离散时间后x_d[n]的频谱,发生位置在2 \pi k。图(d)中画了两个频谱,除了x_d[n]的频谱之外,是离散时间滤波器的频谱,这个滤波器的截止频率为\Omega _c,那么经过这个滤波器之后的频谱就应该是图(d)中两个频谱的乘积,紧接着映射回连续时间,离散时间滤波器的截止频率被scale为\Omega _c /T,如图(e)所示。最后经过连续时间滤波器,频谱如图(f)所示。

上图说明,一个离散时间滤波器在处理连续时间信号时,其截止频率会与连续时间信号的采样频率有关,换句话讲,离散时间滤波器在处理连续时间信号时,可以等效为一个连续时间滤波器,等效截止频率为\Omega _c /T

这篇笔记的分析前提是,被处理的连续时间信号具有有限带宽,且采样过程不发生混叠。

//2020.11.20更新:进行如下计算,解决一下评论里@Lenv12138 提到的问题

通过下面计算可以看出,由C/D后离散序列的频谱计算傅里叶逆变换,求得的离散时间序列具有和原始连续时间信号相同的幅值。

由C/D后的频谱计算傅里叶逆变换
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