极限证明之八股文

八股文，明清时科举考试用的一种文体。因其要求繁多，格式固定，不允许自由发挥……今天将高数中的极限证明用这种固定的格式套，帮助大家依葫芦画瓢的快速进入证明的写作。

数列极限的证明

有关数列极限的定义定性描述并不难，随着 $n$ 的不断增大，数列 $x_n$ 无限接近于一个确定的常数 $A$ ，这个 $A$ 就称为为它的极限。

用定量描述，使用 $\epsilon-N$ 语言。对于极限存在，关键是在无限接近这个概念，自然可以用数列 $x_n$ 和 $A$ 之间的距离（用绝对值就OK）可以达到任意小来刻画，数学表示是 $|x_n-A|<\epsilon$ ，达到的标志是要存在一个 $N$ 。当然，这都是不好理解的，让我来用八股文方式证明一个，看看能不能策马奔腾。如果换成其它极限，需要修改的地方我用下划线注明。

开始之前，请一定确保这个极限结果是对的。要不然就驴唇对不上马嘴了。

例如：证明 $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n}{n+1}=1\tag{1}$

证明：对于任意小的 $\epsilon>0$ ,欲使得 $|x_n-A|=$ $\underline{|\frac{n}{n+1}-1|=\frac{1}{n+1}}$ $<\epsilon$ 成立，只需 $n>$ $\underline{\frac{1}{\epsilon}-1}$ 即可。故取 $N=$ $\underline{[\frac{1}{\epsilon}-1]}$ .于是存在 $N=$ $\underline{[\frac{1}{\epsilon}-1]}$ $\in N^+$ ,当 $n>N$ 时，有 $|x_n-A|<\epsilon$ 恒成立，即该数列收敛。

其中第一步在代入、计算和整理数列和极限值的绝对值时，可能会用到放缩等一些技巧，目的是将 $n$ 较容易求出来。另外计算出的 $n$ 一定要是大于的形式。原因很简单，因为要随着 $n$ 的增大，而不是某个局部范围.