数学思考应追寻一般性与普适性

——记“加法结合律的本质是什么”讨论与思考

江西乐平市第十一小学蒋铭国

今天早上七点五十左右，我路过办公室正欲去教室，同办公室的周老师抱着试卷正在与杨老师讨论问题，这时周老师看见我便说“又来了一个”。我听见后便停下脚步。周老师来到办公室门口与我交流。

周老师指着试卷上一道选择题问我，到底选择哪一个选项。这个问题就是(268+69)+132=(268+132)+69运用了什么运算律。焦点就在于这一运算中除了使用加法交换律，有没有使用加法结合律？

一、让思考回归思维逻辑

周老师原本认为这道题既使用了加法交换律，也使用了加法结合律。但有老师告诉她，这题中只使用了加法交换律，并没有使用加法结合律。这位老师的理由是:本题中括号的存在是没有意义的，具体地说(268+132)+69和268+132+69是一样的，因为这里的括号不能影响计算的顺序，因此本运算中只是交换了132和69的位置，即只用到了加法交换律。

因此周老师接受了这位老师的意见，但心里还是不踏实，于是又找到杨老师交流。此刻看见我又想听听我的意见。说实话，我之前一直强烈地以为括号是有巨大意义的。比如，1和1.0，以及1.00等许多数显然是相等的，但它们的意义不同——这些不同的数有着不同的计数单位。

在这种意识的指导下，我本能地认为，括号的存在，不管它的位置在前还是在后——比如(268+132)+69和268+(132+69)，一定有它存在的意义。具体的意义似乎说不明白，但仔细一想，虽然这两个算式计算的结果相同，但算理显然是不一样的。因此，我个人认为，括号就是“结合”的外在体现。据此我进一步认为只要使用了括号就使用了加法结合律。换句话说如果等式右侧没有括号就可以认为没有使用“加法结合律”。

但在(268+132)+69式子中有没有括号，计算的顺序都是一样的，并没有因为括号的存在而改变运算顺序，所以前面那位老师执意认为没有使用加法结合律，仅仅是使用了加法交换律。而我便偏执地认为有了括号就是使用了加法结合律。细细一想，仅仅从有括号的形式上来认定使用了加法结合律似乎理由不够充分。

这时，杨老师来到我们身边进一步解释，只是解释，似乎并不代表他的主张——他曾经听谁说过，只要是使用了加法交换律，就一定使用了加法结合律。当然只有两个数相加的情形除外。他的这一解释在我看来很有道理，值得肯定。

在三个数或三个数以上连加的情形下，如果使用了交换律，势必就会使用结合律。事实上，将加数交换位置，就是为了将原本可以直接相加的数进行调整，让某一个数舍弃原本与之相加的数，另行与其它的数相加。这就是结合律的内涵。如此“结合”就是“交换”的隐性且默认的前提基础，“交换”则是“结合”的显性且必然的达成策略。

二、让思考回归数学集体——一般性

杨老师的这一解释，似乎一下点醒了我，让我有了上述思考，同时也让我想起了另一经历。几个月前，在某公众号上看到关于大数读法的一篇文章《万级都是0，中间到底要不要读零？》。例如100002345，这个数该怎么读?文章认为万级四个“0”可以读一个“零”，也可以不读“零”。在留言评论中居然也有不少老师赞成应该不读“零”。

虽然在我的意识里是必须要读零的，此刻看到有老师以“每级末尾全是零可以不读”为由赞成应该不读零，据此引发了我的思考。

例如:100002345，是读作一亿零二千三百四十五还是读作一亿二千三百四十五？为了说明应该读零我在评论区留言，举例如下:请读出下列数:100000002，100000020，100000200，100002000，100020000，100200000，102000000，120000000。我们发现如果100002000万级全部是“0”，一个零都不读的话——读作一亿二千，有一个很奇怪的现象——其它所有的数(除最后一个)都需要读一个零，只有这一个数不读零，显得非常突兀，而且也令人费解。大家可以试着读出上述每一个数。

文章作者还提到类似于“一亿二千”的表达不会引起歧义，于是认为“一亿零二千”中的零可以不读。那么我们是否也可以认为“一亿二百”“一亿二十”“一亿二万”“一亿二十万”等等也不会引起歧义呢？显然这些数中的零是一定要读的——当然这也是一个规则，数学规则而已。事实上，在数学中人为规定的东西并不少。例如零的阶乘等于一，零向量的方向为任意，就是最耐人寻味的规定。

于是我就在想，我们思考问题的时候，不要拘泥于“就事论事”，而要学会从更广阔的视野来思考问题，把具体问题放置于更普遍，更一般，更开放的情境下进行考量，或许我们就会有一种更宏大的气魄，更开阔的胸襟，也就有了更为接近普适性的认知与理解。

从上面关于万级全是零的读数的案例中，当我们把这一系列数放在一起的时候，我们一定会更加支持读零，否则就是“自己为难自己”——明明可以统一却偏要走偏门，那只能“呵呵”了。事实上，我们只要站在学生角度，就更能理解，也更加支持更一般的具有普适性的读法，而不会去追求“断崖式”看似理由充分的读法——“一亿二千”。

三、让思考回归真实生活——普适性

回到前面在等式(268+69)+132=(268+132)+69中，到底有没有使用加法结合律呢?第一节课下课后，学生在操场上做课间操，我和周老师又站在一起。我说其实有没有使用加法结合律或许并不重要，重要的是式子中蕴含的计算过程。在上述等式中其实经历的过程如下：(268+69)+132=268+69+132=268+132+69=(268+132)+69，即去括号，交换位置，添括号。周老师说，总要给学生一个答案吧。说得也是。

我继续更一般化地思考:(a+b)+c=a+(b+c)，这显然是使用了加法结合律的，那么(a+b)+c=(b+c)+a也应该是使用了加法结合律的。于是进一步思考(a+b)+(c+d)+(e+f)=(a+c)+(b+e)+(d+f)定然是使用了加法结合律的。因此加法结合律的本质应该是一个数舍弃了原来与之相加的数，另行选择了一个数相加。括号就是就这种本质在形式上的体现，可以认为是一种善意的“提醒”——也是思维形象化的需要。

为了更加理解这种“结合”的真谛，我们不妨打一个不恰当的比喻:就好比一个人原本有一个要结婚的对象，但经过一些考虑，最后决定与另一个人结婚——也就是改变了与之“结合”的对象。这就是“结合律”的本质吧。

我们还可以打一个计算方面的比方。比如大家都熟悉的计算24点。我们不考虑究竟用哪一种运算，我们统一理解为运算就好。在很多情形下，计算出24点的方法是不唯一的，这就是因为每一步运算的对象不同，尽管最后殊途同归，但过程各异，这就是“结合”不一样所决定的。

在理解了24点运算之后，我们不妨更高阶思维。之前我们讨论形如(a+b)+c=(a+c)+b式子是否使用了加法结合律，我们是建立在将算式写在纸上之表象基础之上的。我们想象一下，a，b，c是写在三张卡片上的数字，将a，b靠在一起表示ab“结合”，即相当于加了括号。那么将a，c靠在一起，或将b，c靠在一起，与将a，b靠在一起是没有任何区别的。原因就是通过卡片的方式理解，已经不再具有原来的那种前后或先后之分，留下的仅有谁与谁靠在一起——“结合”的本质。

如此一来，先算谁后算谁并不是关键，尤其当加数众多的时候更能凸现这一点。也就是说有没有改变运算顺序并不是加法结合律的本质。加法结合律的本质，就在于一个数是否改变了与之相加的数。当然，我们所有讨论的基础都是建立在计算结果是一样的。

数学是一门基础学科，也是让人学会思考的载体。数学学习，标准答案或许不是我们要死死追求的，但学会思考，将“具体个例”放置于更广阔的背景下思考会更具有意义。一般性，普适性，才是数学学习，甚至是所有学科学习的终极目标。