曲面的代数几何
曲面理论几乎从曲线的代数几何工作伊始就有人研究了。这里工作的方向也转向在线性与双有理变换下的不变量。象方程f(x,y)=0一样，多项式方程f(x,y,z)=0也有双重解释。若x,y,z取实数值，则方程代表一个三维空间的二维曲面。然而，若这些变量取复数值，则此方程代表六维空间的四维流形。
研究曲面的代数几何方法类似于研究曲线的方法。克莱布什用函数论方法并引进二重积分，相应于曲线论中的阿贝尔积分。克莱布什指出，对于有孤立多重点和寻常多重直线的m次代数曲面，某个m-4次曲面应该起m-3次伴随曲线对于m次曲线的作用。已给有理函数R(x,y,z)，其中x,y和z由f(x,y,z)=0相关联，如果要使二重积分∫∫R(x,y,z)dxdy，在四维曲面的二维域上恒保持有限，则求得其形式为，其中Q是m-4次多项式。Q=0是一个伴随曲面，通过f=0的多重直线，且在f=0的每一个k阶多重直线处有一个至少是k-1阶的多重直线，以及在f的每个q阶孤立多重点处有一个至少是q-2阶的多重点。这种积分叫做第一类二重积分。这类线性无关积分的个数，即是Q(x,y,z)中基本常量的个数，称为f=0的几何亏格
。如果曲面没有点的多重直线，则
。马克思诺特与Hieronymus G.Zeuthen(1839-1920)证明
是曲面（不是全空间）在双有理变换下的一个不变式。
直到这里，曲面和曲线论的类比是好的。第一类二重积分类似于第一类阿贝尔积分。但现在明显出现了第一个差异。必须计算m-4次多项式Q（它在曲面多重点处的性态使积分保持有限）中的基本常量的个数。但只有当多项式次数N充分大时，才可用确切公式求得条件的个数。若将N=m-4代入此公式，便可得不同于的一个数。凯莱称此新数为曲面的数值（算术的）亏格
。最一般的情况是
。当等式不成立时有
，那时曲面称为非正则的；否则称为正则的。后来Zeuthen与诺特证明了
在它不等于
时的不变性。
皮卡(Picard,1856-1941)发展了第二类二重积分的理论。这些是以那样的方式变为无穷大的积分，其中U和V是x,y与z的有理函数，且f(x,y,z)=0。不相同的第二类积分的个数是有限的，这里所谓不相同的意义是指这些积分的线性组合中没有一个能化成
的形式，这个数是曲面f=0的双有理不变量。但和曲线情况比就不对了，不相同的第二类阿贝尔积分的个数是2p。代数曲面的这个新不变量似乎与数值亏格或几何亏格没有联系。
代数曲面的研究成果远比曲线少得多，一个理由是曲面可能有的奇点要复杂得多。皮卡和Georges Simart有一个定理被莱维(Beppo Levi,1875-1928)所证明：任何（实的）代数曲面能够被双有理地变换成无奇点的曲面，然而它必须在一个五维的空间内。不过这个定理没有多大用处。
就曲线来说，单独的不变量亏格p能够用曲线的特征数或黎曼曲面的连通数来定义。但就曲面f(x,y,z)=0的情形说，仍不知道算术上刻划双有理不变量的个数。曲面代数几何剩下的少数有限成果也没啥可说的了。
代数几何的主题现在包括对高维图形（流形或簇，由一个或多个方程定义）的研究。除了在这个方向的推广之外，还有另一类推广，即在定义方程中用更一般的系数（这些系数可以是抽象环或域中的元素），并用抽象代数的方法进行研究。研究代数几何的方法有好几种，又因二十世纪用了抽象的代数叙述，导致在用语上与研究方法上产生了明显的差别，使得一类的工作者很难了解其他类的工作。二十世纪强调的是抽象代数的研究方法。看来这确实能明确表达定理与证明，从而解决了对旧结果的意义与正确性所引起的许多争论。然而大多数研究工作似乎对代数的关系比对几何的关系更多一些。
