11.1 显式表示几何
1、点云
就是很多密集的点，只要足够密集。可以研究成三角形面。
完全也可以用三角形表示复杂物体
11.2 曲线
1、Bezier曲线
非常丝滑，因为每一个点都是唯一确定的。
该曲线一定经过起止点，p0p1的切线、p2p3的切线
2、de Casteljau算法
（1）如何画出Bezier曲线？
假设b0是时间0，b2是时间t，b1决定往什么方向弯。
假设 t = 1/3，取得左侧线段的1/3处b01，右侧线段的1/3处b11，连接两点得新线段的1/3。
（2）Bezier二次曲线推导公式
像完全平方公式a^2 + 2ab + b^2， 其实二次曲线的公式就是由各个控制点bi的线性组合，线性组合的系数就是（a+b）^ n 的二项展开式。
当是n次曲线时，最终曲线的表达式是各个控制点的线性组合，组合的系数是二项展开式。
三维空间中也可以使用伯恩斯坦多项式，注意4个点0123时，n = 3,
（3）Bezier曲线有一些不错的性质
假设现在是有4个点
性质1:起点t=0的值一定是b0，终点t=1的值一定是b3
性质2:起点处的切线等于求导值，前面的3是因为C(n,1)的那个系数公式，n=3。前提若不是4个控制点，则不必是3。
性质3:拉扯控制点得到的新Bezier曲线，跟使用这些点画的Bezier曲线（仿射变换==线性变化+平移）一定是一样的。好的应用：在对一条Bezier曲线进行放射变幻时，不必将全部的点都记录下来，只需要对控制点做仿射变换再画出来即可得到新曲线。
性质4:凸包性质。画出来的曲线一定在控制点形成的凸包内。
什么是凸包？能包围给定形体的凸多边形。皮筋包住钉子的外框。
（4）分线段的Bezier曲线
针对有时候不太方便用很多个顶点得到想要的形状的情况，提出分线段的Bezier曲线。
连续性：
C0连续：两点连接
C1连续：一阶导数连续
3、样条曲线 B-splines
样条定义：一条连续的曲线，是由很多控制点控制的，能满足一定的连续性。一条可控的曲线就是样条。
B-splines就是basic-splines，比起Bezier曲线需要更多的信息。
Bezier曲线的数学公式理解，既可以是二项式定理作为系数对各个顶点作加权平均，也可以理解成各个顶点的位置对二项式系数做加权平均。
由于Bezier曲线是一个顶点发生变化，整个曲线就会变化，我们希望顶点有局部性影响曲线的功能。使用分段Bezier曲线也可以实现，但是B样条曲线也有这样的好的性质。
NURBS是B样条的更进一步延伸。
11.3 曲面
1、Bezier曲面
假设有16个点，先生成4条Bezier曲线，然后让蓝色点在时间t上移动，得到新的Bezier曲线的四个控制点，编织成的Bezier曲面。
在原始的4条线运动到时间u比例，在形成的蓝色曲线运动到了时间v的比例，唯一确定黑点坐标（u,v）。
也就是坐标u确定一条Bezier曲线，v确定曲线上的某一个点。
2、三角形与quads四边形 -- CAE工程师？模型师？
涉及到了更多的网格操作，曲面细分、曲面简化、平滑、参数化，得到的模型。
（1）曲面细分
可应用于纹理贴图，之前相对位移移动生成高度差，应用在不同的顶点上，引入更多的三角形，得到新的更高质量模型。
loop 这个人的细分算法:
三角形的三边中点增加三个新的点并连接，根据权重更新新的点的位置，原来旧的点的更新方式与新的点的更新方式不一样。
新的点取加权平均
对于旧的顶点:一方面认为自己是重要的，另一方面也考虑其他顶点的加权平均。这个公式是当周围顶点多的时候，认为自己不够重要，反之权重大。
定义一个顶点的度，现在就是n=6。
再定义一个数u，u是一个跟度相关的数字，如果n=3,则u=3/16，其他情况u=3/8n。
此处n=6,得u=3/86=1/16。
得权重的公式：（1-nu） self + u * neightborhood
= （1 - 6 * 1/16）*self + 1/16 * neightborhood = （10/16）xxxx
Catmull-Clark细分算法
奇异点定义：度不为4的点
连接三角面的面中心与三边中点，经过一次三角形细分可能会引发新的奇异点，所有非四边形面都消失了。原来有多少非四边形面，经过一次细分会编程多少个新的奇异点。
再经过一次细分，原来没有非四边形面了，所以也不会有新的奇异点产生。
Catmull-Clark这种算法新增的点又分成面心点与边心点两种，再加上old点，更新方式不同。
面心点：平均周围一圈4个old点
边心点：平均周围一圈2个old点+2face点
old点：平均周围新的4面心点+4边心点+8old点
loop细分只能用于三角形面，但是catmull细分可以用于不同形状的面。
（2）网格简化
Collapsing An Edge边坍缩算法
确定应该收缩哪些边？Quadric Error Metrics二次误差度量
在左侧的图是取各个顶点的平均，但是蓝色点与原来的点高度误差非常大，不好。
右侧的二次误差度量：新顶点的应该是，到达相邻的三角形面的距离和最小的位置。
这里复杂的计算过程可看https://max.book118.com/html/2017/0511/105908876.shtm。
其实就是计算的新顶点u到原来顶点u1、u2所连接边集（相连的全部边的距离）的距离和。
如何用二次误差度量来选择边坍塌？
假设有一条边坍缩后，通过移动合并处顶点的位置，得到误差最小的位置。
1、计算每一条边坍塌下的误差值，进行堆排序、贪心算法，选择误差最小的边开始进行坍缩。
坍塌时会导致周围边的误差发生变化？
2、以最小的代价更新，对受影响的边做更新最小二次误差。
1、2步骤是要求我们允许取最小，并更新受影响，使用堆结构。
乱入一只可爱牛牛
（3）阴影问题--shadow mapping--点光源--硬阴影
原说的光栅化，只考虑某一点shading point、相机的位置、光源的位置，但还没考虑到时候有物体遮住。
shadow mapping本质上是一种图片空间的算法，在计算阴影的时候是不需要知道场景中的geometry的，但是必须解决走样问题。
算法关键：如果一个点不在阴影里，可以从相机或者光源处看到这个点。以光源为相机，做一张shadowmap。
记录从光源处看到的物体的深度。再从相机处观察物体，发出反向摄像到光源，看当前的深度信息与第一次记录到的物体的深度信息是否相同，相同则无遮挡无阴影。
但是是否深度相等的判断有误差，浮点数精度，像素大小影响。
硬阴影：点光源，全黑的部分。
软阴影：光源有一定大小时，软阴影的位置只能看到太阳的下半部分，不能看到上半部分。
（4）改进三角形质量，变得更均匀但是不丢失原来三角形的信息
