参数估计

数理统计的基本概念

数理统计：

以数学和概率论为基础研究
1. 如何有效收集有随机性的数据，例如抽样(如美国大选)、试验设计...
2. 如何分析数据
3. 在给定统计模型下进行统计推断（估计：点估计、区间估计和检验：参数检验、非参数检验）
总体（population）:

统计总体：研究对象某个取值，以及取值的可能性。可以看做某个随机变量的取值及概率分布。
样本（sample）:
- 定义：从总体中按照一定的规则抽取的一些个体，记为 $(x_1,x_2...x_n)$ ,称为一个样本， $n$ 为样本大小或样本容量。样本要有代表性，即样本与总体服从相同的分布。
- 样本二重性：抽样方案实施之前，将样本看做随机变量 $(X_1,X_2...X_n)$ ,以便进行理论研究。抽样方案实施之后，样本就是一组数 $(x_1,x_2...x_n)$
统计量（statistic）：

完全由样本决定的量叫做统计量。统计量只能依赖于样本，不能依赖样本以外的任何未知量，尤其是总体分布中的一些未知参数。统计量是为了刻画总体某个特征对样本的一种加工。

如
1. 样本均值 $\overline{X}=\left(X_{1}+\cdots+X_{n}\right) / n$ ，根据大数定律，样本均值趋于总体均值
2. 样本方差： $S^{2}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{2} /(n-1)$ 。根据大数定律，样本方差趋于总计方差
3. 最值 $max(x_1,x_2...x_n)$ , $min(x_1,x_2...x_n)$ ,中位数,极差，
4. k阶样本原点矩： $a_{k}=\left(X_{1}^{k}+\cdots+X_{n}^{k}\right) / n$ ，类比随机变量的k阶原点矩，可称为经验矩，随机变量称为理论矩
5. k阶样本中心距： $m_{k}=\sum_{i=1}^{n}\left(X_{i}-\overline{X}\right)^{k} / n$ ，特别的，当 $k=2$ 时样本方差与样本中心矩只差一个常数 $m^{2}=\frac{n-1}{n} S^{2}$

点估计

参数估计的点估计问题：

设有一个统计总体，以 $f\left(x, \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)$ 记其密度函数（可以是离散型或是连续型）,k值视具体情况而定。

参数估计问题的一般提法是：假设从总体中抽取了一组样本 $X_{1}, \cdots, X_{n}$ ,我们要依据样本对参数 $\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}$ 的未知值做出估计。
矩估计法：
- 思想：设总体分布为 $f\left(x, \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right)$ ，则它的矩为（此处以原点矩为例） $\alpha_{m}=\int_{-\infty}^{\infty} x^{m} f\left(x, \theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \mathrm{d} x$ 或 $\sum_{i} x_{i}^{m} f\left(x_{i}, \theta_{i}, \cdots, \theta_{k}\right)$ ，依赖于 $\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}$ 。另一方面当n较大时，根据大数定律，经验矩约等于理论矩 $\alpha_{m}=\alpha_{m}\left(\theta_{1}, \cdots, \theta_{k}\right) \approx a_{m}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}^{m} / n$ ，取m=1...k,可得一组方程组，解其根为 $\hat{\theta}_{i}=\hat{\theta}_{i}\left(X_{1}, \cdots, X_{n}\right), i=1, \cdots, k$ 。 $\widehat{\theta}_{i}$ 就是 $\theta$ 的估计。

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