$\bullet$ 更详细的介绍可以在维基百科找到：https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section#Conic_parameters

1.圆锥曲线的极坐标方程通常具有如下形式：

$\boxed{r = \frac{\ell}{1 \pm e\cos(\phi - \phi_0)}}$

极轴的选择致力于将初始角度 $\phi_0$ 变为零。

如果极坐标原点位于右焦点， $r = \frac{\ell}{1 + e\cos\phi}$ ，否则为负。

2. 圆锥曲线中有几个重要的参量：

I.椭圆： $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

参数 $a，b$ 并非与变量 $x，y$ 绑定的，但总是较大的那个为 $a$ ， $a$ 对应的变量所在的轴才是长轴。

1) $a，b，c$ 分别为椭圆的半长轴，半短轴，线性偏心率

他们之间的关系： $a^2 = b^2 + c^2$

2） $e$ 被称为偏心率

其与上面三个量之间的关系有：

i) $a,b$ 的关系： $a^2 = b^2 + c^2 \implies 1 = \frac{b^2}{a^2} + e^2 \implies \boxed{a = \frac{b}{\sqrt{1 - e^2}}}$

ii) $a, c$ 的关系： $\boxed{c = ae}$

iii) $b,c$ 的关系： $\boxed{c = \frac{e}{\sqrt{1 - e^2}}b}$

就椭圆而言，因为半长轴大于半焦距，偏心率总是小于1。

3） $\ell$ 被称为半焦弦

焦弦是两条位于对称轴左右两侧，平行于准线，经过了焦点，被圆锥曲线所截的线段。

与 $a，b，c$ 的关系可以由圆锥曲线的一些基本定义得到：

就椭圆而言，我们有： $|PF_1| + |PF_2| = 2a$ 。

考虑到点 $\mathbf{p}$ 是椭圆上任意一点，如果将该点选在椭圆与（比如右侧）焦弦的相交处，即 $|PF_2| = \ell$ ，则有： $|PF_1|^2 = |PF_2|^2 + (2c)^2 = \ell^2 + 4c^2$

结合椭圆的定义，将 $|PF_1|$ 消去后得到：

$\begin{cases} |PF_1| = 2a - \ell\\ |PF_1|^2 = \ell^2 + 4c^2\end{cases} \implies (2a - \ell)^2 = \ell^2 + 4c^2 \implies \boxed{\ell = \frac{a^2 - c^2}{a} = \frac{b^2}{a}}$

利用关系2）i）和ii），可以用半焦弦来表示 $a，b$

$\ell = \frac{b^2}{a} = \frac{a^2(1 - e^2)}{a} = a(1 - e^2)\implies \boxed{a = \frac{\ell}{1 - e^2}}$

$\ell = \frac{b^2}{a} = b^2\left( \frac{\sqrt{1 - e^2}}{b}\right) = b\sqrt{1 - e^2} \implies \boxed{b = \frac{\ell}{\sqrt{1 - e^2}}}$

4） $p$ 被称为焦点参量

它是焦点到位于同侧准线的距离。我们可以根据偏心率的另一个定义（ $e = \frac{|PF|}{|PL|}$ ）来得到它与 $a，b，c$ 的关系。

同样方式，因为该偏心率的定义适用于曲线上任意一点，所以有： $e = \frac{\ell}{p}$

于是 $\boxed{p = \frac{\ell}{e} = \frac{b^2}{ae} = \frac{b^2}{c} = \frac{b^2}{\sqrt{a^2 - b^2}}}$

3. 用以上的关系，我们还可以得到准线的位置： $\boxed{L = p + c = \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{c} = \frac{a^2}{c} = \frac{a}{e}}$

II.双曲线： $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

双曲线不与系数带负号的变量所在的轴有交点，比如上方双曲线的表达式就不与 $y$ 轴有交点。

1） $c^2 = a^2 + b^2$

2）偏心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\ell}{p} > 1$

与偏心率之间的关系均可从1）推导：

i） $a，b$ 之间的关系： $c^2 = a^2 + b^2 \implies e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} \implies \boxed{b = a\sqrt{e^2 - 1}}$

ii） $b，c$ 之间的关系： $b = a\sqrt{e^2 - 1} = \frac{c}{e}\sqrt{e^2 - 1} \implies \boxed{c = \frac{e}{\sqrt{e^2 - 1}}b}$

iii） $a，c$ 之间的关系： $\boxed{c = ea}$

3）双曲线的半焦弦定义与椭圆相同，它是两条平行于准线，经过焦点的线段。

我们考虑坐落在 $x$ 轴的双曲线的右枝，其焦弦为 $x = c$ ，焦弦与双曲线会有两个交点，焦点到其中任意一个交点的距离就是我们要寻找的半焦弦弦长。

联立 $\begin{cases} x = c\\ \frac{x^2}{a^2} - \frac{\ell^2}{b^2} = 1\end{cases} \implies \boxed{\ell = \frac{b^2}{a}}$

4）焦点参量的定义也与椭圆的相同： $\boxed{p = \frac{\ell}{e} = \frac{b^2}{ae} = \frac{b^2}{c}}$

5）用半焦弦和偏心率来表示参量 $a，b$ ，和椭圆的一样，我们只需要从半焦弦的定义出发即可：

从定义 $\ell = \frac{b^2}{a}$ 出发，想得到跟哪个量的关系，就用2）中的表达式将另外一个量消去：

与 $a$ 的关系：

$\ell = \frac{b^2}{a} = \frac{a^2(e^2 - 1)}{a} = a(e^2 - 1) \implies \boxed{a = \frac{\ell}{e^2 - 1}}$

与 $b$ 的关系：

$\ell = \frac{b^2}{a} = b^2\frac{\sqrt{e^2 - 1}}{b} = b\sqrt{e^2 - 1} \implies \boxed{b = \frac{\ell}{\sqrt{e^2 - 1}}}$

6）双曲线的准线位于焦点和中心之间，在对称轴两侧各有一条。

焦点参量 $p$ 是焦点到准线的距离，所以准线距中心的距离为 $\boxed{L = c - p = c - \frac{b^2}{c} = \frac{a^2}{c}}$

III. 抛物线： $y^2 = 4ax$

抛物线位于未被平方的变量所在的轴上，它的开口取决于该变量前系数的正负号：系数为正，开口朝向正半轴；系数为负，开口朝向负半轴。

1）半长轴 $a$ 是顶点到准线的距离，线性偏心率 $c$ 是焦点到原点的距离， $b$ 不存在。

$a，c$ 的关系： $a = c$

2）偏心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{\ell}{p} = 1$

3）半焦弦的定义依然存在，只是形式与之前两个曲线的不太一样:

抛物线的焦点依然存在，它位于曲线开口的一侧。半焦弦依然经过焦点，不过现在就只有一条。拿 $y^2 = 4ax$ 来说，它的顶点是 $(0, 0)$ ,它位于 $x$ 轴，开口朝右。

焦弦的表达式为 $x = c$ ，联立 $\begin{cases} x = c\\\ell^2 = 4ax\end{cases}$ ，因为 $a = c$ ，我们可以得到 $\boxed{\ell = 2a}$

4）因为偏心率为一，焦点参量等于半焦弦长，即 $\boxed{p = \ell = 2a = 2c}$

5）准线的位置 $\boxed{L = a}$

6）利用上述关系，可以将抛物线方程写为：

$y^2 = 4ax = 4cx = 2px = 2\ell x$

只要知道变量前的系数，就能够轻易得到任何相关的量。