1、代数在东方的崛起
2、代数的兴起与几何学的衰落
算术领域中的一个同等重大的进步来自荷兰的西蒙·斯蒂文，他将印度–阿拉伯的十进制数加以扩展，发明了十进制分数。
一旦这个单位不再是神圣而不可分割的，所有量（整数、分数和无理数）就都处在平等的地位上，并汇聚成一个大的数族。
3、代数与几何学的邂逅
第一个突破发生在1630年前后，两位（即将成为竞争对手的）法国数学家皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡儿分别将代数与几何学联系在一起。他们的研究工作开创了一个新的数学学科——解析几何，
4、方程与曲线
对费马和笛卡儿来说，就像x、x3或者x的其他任意次方一样，x2只是另一个实数，这意味着它也可以被绘制在数轴上。
5、寻找失传已久的发现方法——分析
费马的思维方式很有趣，因为它不仅简洁易懂，而且独特新奇。今天，他的曲线研究方法已经退出历史舞台，并被教科书中更复杂巧妙的技巧所取代。
6、行李箱的优化问题
7、费马如何帮助了美国联邦调查局？
正弦波的平均数是它的基线值b。对我们的数据来说，它是纽约市2018年所有日子的平均白昼分钟数。波的振幅a可以告诉我们，一年中最长的昼长会比平均数多出多少分钟。波的相位c可以告诉我们，波在春分前后会向上穿过平均数
如果我们能以某种方式设置旋钮，使正弦波通过我们之前绘制的所有数据点，就相当于对信息进行了显著压缩。这意味着我们只用正弦波的4个参数就捕获了27个数据点，因此数据的压缩系数是27/4或6.75。
8、最短时间原理
最短时间原理后来被广义化为最小作用量原理[插图]，其中的作用量具有我们在这里不必探究的学术意义。人们发现，这种最优性原理（从某种精确的意义上说，指大自然会以最经济的方式运行）能准确地预测出力学定律
它甚至在17世纪给哲学界留下了深刻印象，当时戈特弗里德·威廉·莱布尼茨认为，在所有可能的世界当中，我们的世界是最好的一个，它的一切也都是最好的。后来，伏尔泰在《老实人》中还仿拟过这个乐观主义的观点。用最优性原理来解释物理现象和用微积分推导其结果的思想，正是源于费马的这次计算。
9、近在眼前的应许之地
费马为现代形式的微积分铺平了道路，他的最短时间原理揭示出最优化深深地嵌在大自然的结构之中。他在解析几何和切线方面的研究开辟了一条通往微分学之路，其他人将沿着这条路继续前行。他高超的代数技巧让他能够求出某些曲线下方的面积[插图]，而这类问题曾让许多杰出的前辈数学家一筹莫展。特别值得一提的是，他徒手算出了曲线y=xn下方的面积，其中n为任意正整数（其他人已经解决了前9种情况，即n=1,2,3…9，但没有找到一种对所有n均可行的方法
