第十一章总体方差的统计推断

参考书目为安德森的《商务与经济统计》，以下为个人的学习总结，如果有错误欢迎指正。有需要本书pdf的，链接在本文末尾。（仅限个人学习使用，请勿牟利）

第十一章总体方差的统计推断

11.1 一个总体方差的统计推断

样本方差： $s^2=\frac{\sum(x_i-\bar x)^2}{n-1}$
$(n-1)s^2/\sigma^2$ 的抽样分布：从正态的总体钟任意抽取容量为n的随机样本，则 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ 的抽样分布服从自由度为n-1的 $\chi^2$ 分布

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11.1.1 区间估计

我们取95%的置信区间，利用excel的=CHISQ.INV()函数来计算自由度19当上下侧面积分别为0.025的 $\chi^2$ 分布值为8.901和32.852，如上图所示。
由于 $\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ 服从自由度为n-1的 $chi^2$ 分布。所以：
$\chi_{0.975}^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \leq \chi_{0.025}^2$ （这里的下标指的上侧面积）
转化后可得：
$\frac{(n-1)s^2}{\chi_{0.025}^2} \leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_{0.975}^2}$
$0.0014\leq \sigma^2 \leq 0.0053$
$0.092 \leq \sigma \leq 0.073$

总体方差的区间估计：
$\frac{(n-1)s^2}{\chi_{\alpha/2}^2}\leq \sigma^2 \leq \frac{(n-1)s^2}{\chi_{1-\alpha/2}^2}$ 这里的下标指的上侧面积
$\chi^2$ 的值基于的自由度为n-1， $1-\alpha$ 的置信系数

11.1.2 假设检验

假设检验的三种形式：

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步骤：

利用总体方差假设值 $\sigma_0^2$ 和样本方差 $s^2$ 来计算检验统计量 $\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}$ ( $\chi^2的自由度为n-1$ )
再利用p-值法和临界值法来确定是否拒绝 $H_o$

例子：汽车公司规定到站时间方差不超过4

假设： $H_0:\sigma^2 \leq 4$ $H_a:\sigma^2 >4$
显著水平 $\alpha=0.05$
抽取样本：已知 $n=24$ $s^2=4.9$
计算 $\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{(24-1)4.9}{4}=28.18$
计算可得： $\chi^2=28.18$ 时的上侧面积为0.2091>0.05，所以不能拒绝 $H_0$

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也可以用临界值法，通过excel计算得到 $\chi_{0.95}^2=35.1725$ 那只要比这个值高，就可以拒绝 $H_0$

双侧检验比如设计考试试题，要求分数的方差 $\sigma^2=100$
假设： $H_0:\sigma^2=100$ $H_a:\sigma^2 \neq 100$
抽样n=30，显著水平 $\alpha=0.05$ ，样本方差 $s^2=162$
检验统计量 $\chi^2=\frac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}=\frac{(30-1)\times 162}{100}=46.98$
此时的上侧面积为0.0187，p-值= $2\times 0.0187=0.0374<0.05$ 我们拒绝 $H_0$ 认为方差不为100

总结：

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11.2 两个总体方差的统计推断

当 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 时， $\frac{s_1^2}{s_2^2}$ 的抽样分布服从分子自由度为 $n_1-1$ 和分母自由度为 $n_2-1$ 的F分布
F分布的特点，不对称，F不为负，excel上对应的函数F.DIST()和F.INV()

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举例：必将两个工序生产出来的产品质量的方差， $n_1=n_2=21$ ，那么上侧面积为0.05的F值 $F_{0.05}=2.12$ （这里的下标是上侧面积）
我们假设： $H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$ $H_a:\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
当两个总体都服从正态分布时，样本方差纸币可以得到F检验统计量：
$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$
（为了查表方便计算，有excel可以随意）其中令样本方差较大的总体记为总体1，则F服从分子自由度 $df_1=n_1-1$ ，分母自由度为 $df_2=n_2-1$ 的F分布。