数学的魅力在于它的神奇和美妙。神是指数学知识背后所蕴含的基本思想，它是数学的灵魂和精髓，美是指数学知识的数学本质，它是数学的根源和本质。数学的神和美是一种客观存在。数学的奇和妙是学习者在数学学习过程中的一种主观感受和体验，在数学学习过程中，通过数学思考才能产生奇和妙的感受。
魅力数学孕育魅力课堂，魅力课堂倡导在数学课堂教学中，通过把握数学本质，融入数学思想，突出数学思考，让课堂焕发数学应有的魅力，让生命焕发应有的活力，形成和发展学生的数学核心素养。数学本质、数学思想和数学思考是魅力课堂的三个基本要义。
下面以《比的意义》一课为例，谈一谈我对魅力课堂的粗浅认识。
一、魅力课堂的第一要义———把握数学本质。
魅力数学要求课堂要准确把握数学本质，这是魅力课堂的第一要义。我们要从数学本质的角度深入研究教学内容，厘清教学内容的源与流，分析知识的生长点和延伸点，追问教学内容的数学本质，从本质上明确该“教什么”，而不能仅仅停留在对教学内容的表面理解上。教学时，要根据教学内容的数学本质，立足学生的实际，设计一些有效的教学活动，让学生在数学活动中，感悟教学内容的数学本质，这样的课堂才会有魅力，也才能更好地促进学生数学核心素养的形成与发展。
以《比的意义》一课为例，比的数学本质是什么？比与除法的关系是什么？这节课该教什么？教学的重点在哪里？都是我们需要思考的问题。
什么叫做比？比的数学本质是什么？现行的教材大多是这样定义“比”：两个数相除又叫做两个数的比。这样定义比，貌似比只是除法的另一种说法而已，并没有新的内容。可如果按这样理解的话，我们不禁要问：既然两个数相除又叫做两个数的比，有除法就够了，何必还要再去学“比”呢？可见，比并不是除法的附庸，只是在求比值时才用除法，它有自己的概念本质，这个本质使它具有完全不同于除法的特点，是除法所不能替代的。教材对于比的定义，回避了“比”的本质，仅仅是描述了“比”的外壳而已。
比这一概念的本源是“比较”。比较则分为两种情况：一是比较两数的差距关系，另一种则是比较两数之间的倍数关系。我们现在要学习的比属于第二种情况的比。因此，可以说，比是一种关系。《数学辞海》认为，比较两个同类量之间的一种倍数关系，称为这两个同类量的比。在单位相同时，两个量的比可以用这两个量的数的比来表示。尽管两个数相比的比值、相除的商和分数的值是相等的，但比、除法、分数仍有各自的意义。“比”是两个量之间的倍数关系，“除法”是一种运算，“分数”是一个数。维基百科指出，比是两个数之间的一种关系，这种关系表明第一个数是第二个数的多少倍。这样的两个数可以涉及任何数量，如人数、长度、面积等。可见，两者都强调比是两个数（量）的倍数关系。
比揭示了两个变量之间一种不变的关系，这是比概念的本质。比的概念，还要进一步发展为四个量的比例关系，并为将来学习正比例函数作准备。这种函数对应思想较之除法的意蕴要深刻得多。因此，无论是教材还是教学，都要凸显“比”的概念本质，让学生在学习活动中，探索共变规律，感悟比的意义。
比的概念有一个发展过程。比原本是同类量的比较关系，最先是同类量的简单倍数比较，如甘蔗饮料的配比。然后是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景。再次是不同类量的比较，具有量纲，如速度。最后，则是从“量”到“数”，引出两个无量纲的数的比。由此可见，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”。如果直接把“两个同类量之比”定义为“两个数相除”，就跳过了许多步骤，抽取了“比”的概念发生过程，把引申出来的最边远结论当做了概念的本源，这不啻是一种本末倒置的做法。因此，张奠宙先生提出：不同类量的比，不宜作为“比”的主要情境引入。对于比的理解，先要从两个简单的整数之比说起，然后通过一系列的活动，让学生充分经历概念的发生发展过程，以便于学生把握概念的本质。
二、魅力课堂的第二要义——挖掘数学思想
数学思想是数学的灵魂和精髓，魅力数学要求课堂要充分挖掘数学思想，这是魅力数学课堂的第二要义。“站位要高”是魅力课堂的重要特点，站在数学思想的高度设计教学，才能真正确保课堂的魅力。因此，我们应该立足教学内容，充分挖掘数学知识所蕴含的数学思想，让学生在基础知识、基本技能的学习过程中，感悟数学思想，积累思维经验，这样的课堂才有足够的回味空间和品味余地，才能绽放出数学应有的魅力，更好地促进学生数学核心素养的形成与发展。
一般地，数学思想蕴含在数学知识的形成、发展和应用中，在数学知识的形成过程中常常蕴含着抽象思想，在数学知识的发展过程中常常蕴含着推理思想，在数学知识的应用过程中常常蕴含着建模思想。那么，“比的意义”一课究竟蕴含着哪些数学思想？我们可以从以下几个方面进行分析。
第一，从知识形成的角度分析。“比的意义”虽然放在分数除法一单元进行教学，但此内容属于“数与代数”领域内“比例与方程”这部分知识的起始课，是为接下来学习比例和正比例函数作准备，属于知识的形成阶段。因此，“比的意义”一课所蕴含的基本思想是抽象思想。
首先，比的概念是从比较两个同类量之间的倍数关系而产生的，后来，推广到两个不同类量的比。在教学中，先通过简单的同类量的比引入，再扩展到不同类量的比。这里蕴含着“分类思想”。比的前项和后项的位置不能调换，这里蕴含着对应思想。比如说调制糖水时，糖与水的比是1:6，1对应糖的份数，6对应水的份数，1/6对应糖占水的关系，6倍对应水与糖的关系。对于不同情境中的两个量（数），不管是同类量的比，还是不同类量的比，都可以归结为两个数的比，且比这一概念的本质是，它揭示了两个变量之间一种不变的关系，这里蕴含着“变中不变的思想”，“变”的是具体情境，不变的是表示两种量的关系的方式。
第二，从知识发展的角度分析。
在小学数学中，“数与代数”的脉络通常是“量—数—式—方程—函数”。比是为比例作准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。在此之前，学生接触到的两个量之间的关系，多是一一对应的差距关系或倍数关系，而比的概念的引入，则将这种倍数关系扩展到两个变量的函数关系，使学生在不同的情境，不断变化的数量中慢慢体悟当两个数量变化时，比可以表示两者之间不变的关系。进而将这种体验迁移应用，丰富概念例证，最后概括出“比”可以表示两个数之间的关系这一结论。在这里蕴含着推理思想中的类比和归纳思想，当学生在学习过程中领悟这些内容时，数学的神奇和美妙便油然而生。
第三，从知识应用的角度分析。比的意义，是研究比例关系的基础，为将来学习正比例函数作准备。它在具体情境中的应用：配方问题，树高和影长的关系，矩形的长与宽的关系决定矩形的形状，以及不同类量的比等，应该来说都是属于知识的应用过程，在这个过程中蕴含着建模思想。本节课要建立的是一种对应的函数模型。
三、魅力课堂的第三要义———驱动数学思考。
魅力数学要求课堂要积极驱动数学思考，这是魅力课堂的第三要义。魅力课堂倡导课堂要有广阔的思维空间，要有浓厚的思考味道，要让“听”的味道淡一些，要让“想”的味道浓一些，强调通过启发学生独立思考、学会思考，让学生充分体验思考的乐趣，体会数学的神奇和美妙，从而感受课堂的魅力。
如何才能积极驱动数学思考？有学者认为：关键在于课堂要有一个明确的核心问题以及一些富有启发性和引导性的问题串，以核心问题为统领，以问题串为线索，促使学生更为积极地思考，学会用数学的方式思考问题。
第一，通过提炼核心问题，驱动数学思考。问题是数学的心脏，是思考的载体，核心问题是一节课的关键性问题，应该具有统领性、驱动性和相关性。核心问题要能够统领一节课的数学学习，能够驱动学生的数学思考，能引发全体学生的关注，并与一节课的核心知识相关联。因此，提炼核心问题时，我们要深入研究分析教学内容，把握好一节课的核心知识，在核心知识上提炼出相应的问题。
比如：“比的意义”一课，核心知识是“比是表示两个数的关系”，比的本源是比较。通过本节课的学习，要让学生知道，当两个数用倍数比大小时，表示它们之间存在着“比关系”，这种关系就可以用比来表示。
因此，我们可以把“比什么”作为本节课的核心问题，以此驱动学生的数学思考，它是本课学习过程中数学思考的基点和出发点，如果是表示比较两个数的差距关系，那就可以用以前学习的减法求得，这是已有经验；如果是比较两数之间的倍数关系，那么这种倍数关系就可以用比来表示，这是本节课需要积累的新经验。
第二，通过设计一串问题，拓展思维空间。问题串是核心问题的拓展延伸，是一节课明晰的思维线索，是把数学思考引向深入的重要保证，是拓展思维空间的重要载体，是体会思维乐趣的重要基础。问题串要具有关联性、逻辑性和可持续性，问题串与核心问题之间要相关联，问题与问题之间也要相关联，要符合推进数学思考的一般逻辑，同时还要能促进学生持续思考。因此，设计问题串时，我们要立足核心问题，整体把握教学内容，全面构思教学环节，把教学环节的设计和问题串的设计有机统一起来，让学生在数学思考和问题解决的过程中整体推进学习的过程。
比如，比的意义这节课，我是通过谈话引入比的概念的：首先，学生根据比联想到比较，并结合已有知识经验举出比较的相关例子，此时引导学生认识到这些都是以前学过的比差距。然后启发学生联想还见过哪些不一样的比？学生说到在地图，模型，奶粉罐上见过比。
此时出示牛奶的配方，奶粉与水的比是1：4，这个比表示什么？通过学生的回答，引导学生根据配方配制出不同数量牛奶，使学生感受到：按照这个比，可以配出无数多种牛奶，无论怎么配制，牛奶的口味不变。此时引导学生思考，为什么口味不变？在此基础上让学生对1:4有更深入，全面的理解。
紧接着，出示三种不同的调制牛奶的配方，让学生判断它们的口味是否与刚才的牛奶一样，并说出自己是怎么判断的？使学生在实际应用中再次感受比的意义及优越性。
最后，让学生联系生活实际，想一想关于比的应用，生活中还有这样的例子吗？并说一说这些比所表示的实际意义。通过对所举例子的辨析，使学生感受到无论数据怎么变化，但只要两个数的倍数关系不变，那么它们都是符合要求的，而对这一切的判断，都要用到比，比就像是一把看不见的尺子一样，可以帮助我们量牛奶的浓淡，面团的软硬，长方形的形状……
这里，需要特别指出的是对体育比赛中1:4这个比分是不是比进行辨析，通过这一反例使学生更为清楚地明晰了比的本质是表示两个数的关系。
简单梳理一下，本节课以“比什么”“表示什么”“怎么判断”“还有吗”“一样吗”五个问题形成一个问题串，在“比什么”这一核心问题统领下，驱动对比的意义的数学思考。问题串把数学思考不断引向深入，促使学生更为积极地思考，使学生想得更全面、更深刻、更清晰。这里的问题串自身又构成一个数学思考的循环系统，不仅丰富了课堂的广度，而且拓展了思考的时空，把数学思考从课内延伸到课外。虽然一节课已经结束，但是新的思考又刚刚开始，不知不觉中触及了更多更广的未知世界，发现那里充满着各种数学奥秘，这就是数学的神奇和美妙。
