线性分类模型(二)——生成式模型

本文首发于我的个人博客Suixin's Blog

生成式方法：对类条件概率密度 $p(\pmb{x}|C_k)$ 和类先验概率分布 $p(C_k)$ 建模，然后使用贝叶斯定理计算后验概率密度 $p(C_k|\pmb{x})$ ，从而进行预测。

二分类模型

类别 $C_1$ 的后验概率为
$p(C_1|\pmb{x})=\frac{p(\pmb{x}|C_1)p(C_1)}{p(\pmb{x}|C_1)p(C_1)+p(\pmb{x}|C_2)p(C_2)}=\frac{1}{1+\exp(-a)}\triangleq\sigma(a)$
其中， $a=\ln\frac{p(\pmb{x}|C_1)p(C_1)}{p(\pmb{x}|C_2)p(C_2)}$ ， $\sigma(a)$ 是sigmoid函数。
假设类条件概率密度是高斯分布，且所有的类别协方差阵相同。则
$p(\pmb{x}|C_k)=\frac{1}{{(2\pi)}^\frac{D}{2}}\frac{1}{|\Sigma|^\frac{1}{2}}\exp\{-\frac{1}{2}(\pmb{x}-\pmb{\mu}_k)^\top\Sigma^{-1}(\pmb{x}-\pmb{\mu}_k)\}$
则后验可化为
$p(C_1|\pmb{x})=\sigma(\pmb{w}^\top\pmb{x}+w_0)$
其中，定义了 $\pmb{w}=\Sigma^{-1}(\pmb{\mu}_1-\pmb{\mu}_2)$ ， $w_0=-\frac{1}{2}\pmb{\mu}_1^\top\Sigma^{-1}\pmb{\mu}_1+\frac{1}{2}\pmb{\mu}_2^\top\Sigma^{-1}\pmb{\mu}_2+\ln\frac{p(C_1)}{p(C_2)}$

多分类模型

类别 $C_k$ 的后验概率为
$p(C_k|\pmb{x})=\frac{p(\pmb{x}|C_k)p(C_k)}{\sum_jp(\pmb{x}|C_j)p(C_j)}=\frac{\exp(a_k)}{\sum_j\exp(a_j)}\triangleq softmax_k(\pmb{a})$
其中， $a_k=\ln (p(\pmb{x}|C_k)p(C_k))$ 。
在同样的假设下，有
$a_k(\pmb{x})=\pmb{w}_k^\top\pmb{x}+w_{k0}$
其中， $\pmb{w}_k=\Sigma^{-1}\pmb{\mu}_k$ ， $w_{k0}=-\frac{1}{2}\pmb{\mu}_k^\top\Sigma^{-1}\pmb{\mu}_k+\ln p(C_k)$

极大似然解

首先考虑二分类的情形。
假设有一个数据集 $\{\pmb{x}_n,t_n\}$ ，其中 $n=1,2,\cdots,N$ ， $t_n=1,0$ 分别表示类别 $C_1,C_2$ ，把先验记为 $p(C_1)=\pi$ ，则有
$p(\pmb{x}_n,C_1)=p(C_1)p(\pmb{x}_n|C_1)=\pi\mathscr{N}(\pmb{x}_n|\pmb{\mu}_1,\Sigma)$
根据全概率公式可得似然函数为
$p(\textbf{t}|\pi,\mu_1,\mu_2,\Sigma)=\prod_{n=1}^{N}[\pi\mathscr{N}(\pmb{x}_n|\pmb{\mu}_1,\Sigma)]^{t_n}[(1-\pi)\mathscr{N}(\pmb{x}_n|\pmb{\mu}_2,\Sigma)]^{1-t_n}$
其中， $\textbf{t}=(t_1,t_2,\cdots,t_N)^\top$ 。
分别对各个参数求导可得极大似然解为
$\pi=\frac{1}{N}\sum_{n=1}^Nt_n=\frac{N_1}{N}\\ \pmb{\mu}_1=\frac{1}{N_1}\sum_{n=1}^Nt_n\pmb{x}_n\\ \pmb{\mu}_2=\frac{1}{N_2}\sum_{n=1}^N(1-t_n)\pmb{x}_n\\ \Sigma=S=\frac{N_1}{N}S_1+\frac{N_2}{N}S_2$
其中， $S_1=\frac{1}{N_1}\sum_{n\in C_1}(\pmb{x}_n-\pmb{\mu}_1)(\pmb{x}_n-\pmb{\mu}_1)^\top$ ， $S_2=\frac{1}{N_2}\sum_{n\in C_2}(\pmb{x}_n-\pmb{\mu}_2)(\pmb{x}_n-\pmb{\mu}_2)^\top$ 。详细求解过程见参考。
而对于多分类问题，很容易得到极大似然解。
注：该方法对于离群点不鲁棒。

参考

“Pattern Recognition and Machine Learning”

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