chpt.3 补充——勒让德变换(Legendre transform))

注意：这篇补充仅适用于勒让德变换的基础入门，即只针对那些对勒让德变换不了解的同学。接下来的内容只会涵盖勒让德变换的基本定义、几何含义、一维简单勒让德变换以及在热力学中的应用。想要进阶学习和更严格的定义请自行查阅相关教材或者维基百科。

$\boldsymbol{\mathrm{I}}.$ 动机

在数学中，我们经常会将一个函数 $f(x)$ 表示为关于其导数 $\frac{df}{dx}$ 的函数形式。如果令 $p = \frac{df}{dx}$ ，函数 $f^{\star}(p)$ 则是我们变换后的函数；它是函数 $f(x)$ 的勒让德变换。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I}}.$ 特点

$\bullet$ 勒让德变换是自身的逆变换。

$\bullet$ 勒让德变换是一个求最大值的过程。

$\bullet$ 只有当目标函数本身是凸函数时（ $\frac{d^2f}{dx^2} \gt 0$ ）变换才有明确定义。

$\bullet$ 勒让德变换点和线之间二象关系的应用。即， $f(x)$ 的函数关系也可以被等价地表示成点集 $(x,y)$ 或者有确定斜率和截距的切线家族。

$\bullet$ 推广：勒让德-芬切尔变换(Legendre-Fenchel transform)。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!I\!I}}.$ 定义

$\bullet$ 定义一

$\boxed{f^{\star}(p) = \rm{sup}_{x} (px - f(x))}\\$

其中 $\rm{sup}_x()$ 表示对变量 $x$ 的最小上界。（当存在最大值时，即为最大值）

$\bullet$ 定义二

将 $f^{\star}$ 最大化，需：

$\begin{align*}\frac{d}{dx}(f^{\star}) &= 0\\\frac{d}{dx}(xp-f(x))&= 0\\p - \frac{df}{dx} &= 0\end{align*} \\$

所以最值的条件为： $p(x) = \frac{df}{dx}$

因为 $f$ 为凸函数(convex function)，该值亦是最大值：

$\frac{d^2}{dx^2}(xp - f(x)) = -\frac{d^2 f}{dx^2} \lt 0\\$

根据最值条件，求变量 $x$ 关于 $p$ 的反函数 $x(p)$ ，再代入 $f^{\star}$ 得到：

$\boxed{f^{\star}(p) = x(p)p - f(x(p))}\\$

这是定义一的具体表述。

$\bullet$ 定义三

如果函数 $f$ 和 $f^{\star}$ 的一阶导互为反函数：

$Df = (Df^{\star})^{-1}\\$

它们被称为彼此的勒让德变换。其中 $D$ 是微分算符。

该定义很好验证，

$\frac{d}{dx}f^{\star}(p) = \frac{d}{dx}(xp - f(x)) = x- \frac{df(x)}{dp} = x\\$

结合最值条件，就可以得到

$\begin{cases}p(x) = \frac{df}{dx}(x)\\ x(p) = \frac{df^{\star}}{dp}(p)\end{cases}\\$

$\bullet$ 根据上式不难看出， $f$ 与 $f^{\star}$ 的唯一性只精确到一个可加常数，所以常数的确定通常需要额外的约束条件：

（i）标准型

$f(x) + f^{\star}(p) = xp\\$

（ii）非标准型

$f(x) - f^{\star}(p) = xp\\$

后者多用于热力学。

$\boldsymbol{\mathrm{I\!V}}.$ 几何含义

表达式 $f^{\star} = px - f(x)$ 是一条经过原点并与原函数在点 $(x,y)$ 相切的直线。最大化 $f^{\star}$ 意味着我们要寻找在原函数上一点 $(x_0,y_0)$ ，使得

$px - f(x_0), \quad p = \dot{f}(x_0)\\$

最大，因此切线与 $y$ 轴的截距必须位于最下方。

点 $(x_0,y_0)$ 在函数上，设切线方程为

$f(x_0) = mx_0 + b,\quad m = \dot{f}(x_0)\\$

利用斜率表达式，反求 $x_0$

$x_0 = \dot{f}^{-1}(m)\\$

代入切线方程，求解截距 $b$

$b = f(\dot{f}^{-1}(m)) - m\dot{f}^{-1}(m) = -f^{\star}(m)\\$

$\implies f^{\star}(m) = m\dot{f}^{-1}(m) - f(\dot{f}^{-1}(m)) \\$

其中 $f^{\star}$ 是 $f$ 的勒让德变换。

可将切线表示为含有参数 $m$ 的形式：

$f = mx - f^{\star}(m)\\$

或者隐性地写成：

$F(f,f^{\star},m) = f + f^{\star}(m) - mx = 0\\$

$\boldsymbol{\mathrm{V}}.$ 一维勒让德变换

$\bullet$ 定义

$f^{\star}(y) = yx - f(x),\quad x = \dot{f}^{-1}(y)\\$

$\bullet$ 条件

$\dot{f}(x) = \dot{f^{\star}}^{-1}(x)\\$

$\bullet$ 证明

对等式两边求从 $x_0$ 到 $x_1$ 的积分：

$\int_{x_0}^{x_1}f(x) dx = \int_{x_0}^{x_1}\dot{f^{\star}}^{-1}(x)dx\\$

左边根据微积分基本原理得到

$f(x_1) - f(x_0) = \int_{x_0}^{x_1}\dot{f^{\star}}^{-1}(x)dx\\$

做代换

$y(x) = \dot{f^{\star}}^{-1}(x);\quad dx = \ddot{f^{\star}}(y)dy\\$

于是

$x_0 = x(y_0) = \dot{f^{\star}}(y_0)\\$

$x_1 = x(y_1) = \dot{f^{\star}}(y_1)\\$

$f(x_1) - f(x_0) = \int_{y_0}^{y_1}y\ddot{f^{\star}}(y)dy\\$

对右边使用分部积分法

$f(x_1) - f(x_0) = \left.y\dot{f^{\star}}(y)\right|_{y_0}^{y_1} - \int_{y_0}^{y_1}\dot{f^{\star}}(y)dy\\$

$\implies f(x_1) - f(x_0) = y_1x_1 - y_0x_0 - f^{\star}(y_1) + f^{\star}(y_0)\\$

进一步整理得到

$f(x_1)+f^{\star}(y_1) - y_1x_1 = f(x_0) + f^{\star}(y_0) - y_0x_0\\$

观察，等式左边是仅依赖 $x_1$ 的表达式，而右边是仅依赖 $x_0$ 的表达式，两者相等只可能双方均为常数：

$f(x) + f^{\star}(y) - yx = C\\$

令 $C = 0$ ，整理后便可得到

$\boxed{f^{\star}(y) = xy - f(x)}\\$

并且

$x = \dot{f^{\star}}(y) = \dot{f}^{-1}(y)\\$

$\implies \boxed{\dot{f}(x) = \dot{f^{\star}}^{-1}(x)}\\$

$\boldsymbol{\mathrm{V\!I}}.$ 热力学应用

在热力学中，我们经常将一些物理量（内能，自由能等）用新的变量来表示。

一般技巧如下：

1. 找出新变量。根据勒让德变换的定义，新变量是原函数对其某原变量的偏导。

2. 反求原变量关于新变量的表达式。

3. 写出函数原变量与新变量的乘积。

4. 将的得到的积与原函数做差。

（例）

内能通常可被写成关于系统的熵（或常规熵），体积以及微粒个数的函数

$U(\sigma, V,N)\\$

根据压强的定义

$\left.\frac{\partial U}{\partial V}\right|_{\sigma,N} = -P(V,\sigma,N)\\$

所以当系统的熵和微粒数固定时，存在从函数 $U(\sigma,V,N)$ 到函数 $H(P)$ 的勒让德变换（非标准型）。新变量是体积 $V$ 。

利用压强定义反求 $V(P,\sigma,N)$ ，再执行步骤3，4便可得到

$H(P,\sigma,N) = U + PV(P,\sigma,N)\\$

物理学家将该函数称为系统的焓(enthalpy)。

最后编辑于：2020.02.24 21:04:12

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