行列式

一.行列式理论

1.行列式的基本概念

1.1排序

排序：由1,2,3,4...n组成的有序数组称为一个n级排序，例如2431是一个4级排序。n级排序的总个数是n！。
逆序：在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就被称为一个逆序，一个排列中，逆序的总数就被称为逆序数。记为 $\tau\left(J_{1} \jmath_{2} \cdots J_{n}\right)$ .逆序数为奇数的排序叫做奇排序，逆序数为偶数的排序叫做偶排序。
对换：对排列 $i_{1} i_{2} \cdots i_{n}$ 任意两个数字进行调换，叫做一次对换。
- 对换改变排列的奇偶性（P54).
  - 证明：（1）若要对换的两个数是相邻的情况，例如排列 $...jk...$ ,对换后变成 $...kj...$ ,对换后j、k与除去jk两个数以外构成的逆序数个数不变，若 $j>k$ ,那么经过对换，总逆序数减一，若 $j<k$ ,总逆序数加一。总之逆序数的奇偶性发生改变。
    
    （2）若在一般情况下要对换的两个数j,k不相邻，可以设排列为 $...ji_{1} i_{2} \cdots i_{s}k...$ 经过对换后排列变成 $..ki_{1} i_{2} \cdots i_{s}j...$ ,不难看出，这个对换等价于多个相邻对换的组合。首先，从原始排列出发，经过 $s+1$ 次相邻对换变成 $..k ji_{1} i_{2} \cdots i_{s}...$ ,在经过 $S$ 次相邻对换变成 $..ki_{1} i_{2} \cdots i_{s}j...$ .所以如果两个数之间隔着s个数的不相邻对换，等价于 $2*s+1$ 次相邻对换，逆序数奇偶性一定发生改变

因为在对换改变排列的奇偶性，所以在全部n级排列中，奇、偶排列个数相等，各有n!/2个（P54).
- 证明：假设全部n级排列中，奇排列s个，偶排列t个。
将s个奇排列中的前两个数字对换，得到s个不同的偶排列，所以s<=t

将t个偶排列的前两个数字对换，得到t个不同的奇排列，所以t<=s

所以t=s,所以奇偶排列总是相等
任意一个n级排列与1,2,3...n排列都可以经过一系列对换互变，并且所做对换的个数与这个排列有相同的奇偶性.
- 证明：数学归纳法
1排列只有一个数，结论显然成立

假设n-1级排列成立，下证对n级排列也成立

设 $i_{1} i_{2} \cdots i_{n}$ 是任一个n级排列，若 $i_n$ =n,那么结论显然成立

若 $i_n!=n$ ,那么可以可以将 $i_n$ 与n先对换，就变成上面的

结论依然成立。

1.2行列式

定义：n级行列式，(不会打行列式，只会打矩阵，气哭）

$\left[ \begin{matrix} a_{11}& a_{12} & ...& a_{1n}& \\ a_{21}& a_{22} & ...& a_{2n}&\\ ... \\ a_{n1}& a_{n2} & ...& a_{nn}& \end{matrix} \right]$

等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 $a_{1,j1},a_{2,j2}...a_{n,jn}$ 的代数和，这里 $j_1,j_2...j_n$ 是1,2...n的一个排列，每一项都按照以下规则带有符号
$D=\sum_{j_{1} j_{2} \cdots j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1} j_{2} \cdots j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}}$
这个定义表示，为了计算行列式，首先求出所有位于不同行不同列元素构成的乘积，把构成这些乘积的元素按照行指标排成自然顺序，然后由列指标的奇偶性来决定这一项的符号。其次，在行列式计算中，行与列是等价的，也可以按照列排列。

性质：
- 行列互换（转置），行列式大小不变。
  - 证明：
- 对调两行或是两列，行列式符号改变。
  - 证明
- 行列式的某行或是某列，有公因子可以提到行列式外面。
  - 行列式某行或是某列全为0，行列式为0
  - 行列式两行或是两列相同，行列式为0
  - 行列式两行或是两列成比例，行列式为0
- 行列式某行或是某列皆为两个数之和，可以分解为两个行列式
- 行列式的某行或某列加到另一行或另一列，行列式不变
计算: 初等变换变为阶梯型行列式
- 以一个非零数乘以矩阵的某一行
- 将矩阵中的某一行的c倍加到另一行
- 互换矩阵两行的位置
余子式与代数余子式：

微信截图_20190504213829.png

由以下公式成立：
$\begin{array}{l}{D=a_{i 1} A_{i 1}+a_{i 2} A_{i 2}+\cdots+a_{i n} A_{i n}(i=1,2, \cdots, n)} \\ {D=a_{1 j} A_{1 j}+a_{2 j} A_{2 j}+\cdots+a_{n j} A_{n j}(j=1,2, \cdots, n)}\end{array}$
行列式某行（某列）与其他任意一行（列）的代数余子式为0

2.几个特殊的行列式

范德蒙行列式：
主对角行列式
副对角行列式（可由定义推出）
上（下）三角行列式
分块行列式

微信截图_20190504214741.png

二.行列式在线性方程组中的应用-克拉默法则

对齐次线性方程组（1）
$\left\{\begin{array}{c}{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0} \\ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\dots+a_{2 n} x_{n}=0} \\ {\vdots} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=0}\end{array}\right.$
非齐次线性方程组（2）
$\left\{\begin{array}{c}{a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1}} \\ {a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2}} \\ {\vdots} \\ {a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}}\end{array}\right.$

微信截图_20190504215431.png

三.拉普拉斯定理-行列式的乘法规则

待补充

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