数学分析理论基础20：Lagrange定理

Lagrange定理

Rolle中值定理

定理：若函数f满足条件： $\begin{cases}(1)f在[a,b]上连续\\(2)f在(a,b)内可导\\(3)f(a)=f(b)\end{cases}$ ,则

在(a,b)内至少存在一点 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$

证明：

$\because f在[a,b]上连续$

$\therefore f在[a,b]上有最大值M与最小值m$

$显然,m\le M$

$若m=M$

$则f在[a,b]上为常函数$

$结论显然成立$

$若m\lt M$

$\because f(a)=f(b)$

$\therefore M,m至少有一个在(a,b)内某点\xi处取得$

$\therefore \xi为f的极值点$

$\because f在\xi\in(a,b)处可导$

$由费马定理$

$f'(\xi)=0$

$\therefore 结论成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线

注：定理中三个条件缺一不可

例：设f为R上可导函数,证明：若方程 $f'(x)=0$ 无实根,则方程 $f(x)=0$ 至多只有一个实根

证：

$若不然,即f(x)=0有两个实根x_1,x_2$

$不妨设x_1\lt x_2$

$函数f在[x_1,x_2]上满足Rolle定理三个条件$

$\therefore \exists \xi\in(x_1,x_2)使f'(\xi)=0$

$与f'(x)\neq 0矛盾,命题得证$

Lagrange中值定理

定理：若函数f满足条件： $\begin{cases}(1)f在[a,b]上连续\\(2)f在(a,b)内可导\end{cases}$ ,则

在(a,b)内至少存在一点 $\xi$ 使 $f'(\xi)={f(b)-f(a)\over b-a}$

证明：

$作辅助函数$

$F(x)=f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)$

$显然,F(a)=F(b)=0$

$F在[a,b]上满足Rolle定理条件$

$\therefore \exists \xi\in(a,b)使得$

$F'(\xi)=f'(\xi)-{f(b)-f(a)\over b-a}=0$

$移项即得结论\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：当f(a)=f(b)时,定理的结论即为Rolle定理的结论,即Rolle定理为Lagrange定理的一个特殊情形

几何意义：在满足条件的曲线 $y=f(x)$ 上至少存在一点 $P(\xi,f(\xi))$ ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,证明中引入的辅助函数F(x)正是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $AB(y=f(a)+{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a))$ 之差

Lagrange公式

$f'(\xi)={f(b)-f(a)\over b-a}$

等价表示形式

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

$f(b)-f(a)=f'(a+\theta(b-a))(b-a)(0\lt \theta\lt 1)$

$f(a+h)-f(a)=f'(a+\theta h)h(0\lt \theta\lt 1)$

推论：

1.若函数f在区间I上可导,且 $f'(x)\equiv 0,x\in I$ ,则f为I上的一个常量函数

证明：

$\forall x_1,x_2\in I$

不妨设 $x_1\lt x_2$

在区间 $[x_1,x_2]$ 上应用Lagrange定理

$\exists \xi\in (x_1,x_2)\subset I$ ,使得

$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0$

即证得 $f$ 在区间 $I$ 上任意两点值相等 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.若函数 $f$ 和 $g$ 均在区间 $I$ 上可导,且 $f'(x)\equiv g'(x),x\in I$ ,则在区间 $I$ 上 $f(x)$ 与 $g(x)$ 只相差某一常数,即 $f(x)=g(x)+c$ (c为某一常数)

导数极限定理

定理：设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上连续,在 $U^\circ(x_0)$ 内可导,且极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$ 存在,则 $f$ 在点 $x_0$ 可导,且 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$

证明：

1. $\forall x\in U_+^\circ(x_0)$ , $f(x)$ 在 $[x_0,x]$ 上满足Lagrange定理条件

$\therefore \exists \xi\in (x_0,x)$ ,使得

${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(\xi)$

$\because x_0\lt \xi\lt x$

$\therefore x\to x_0^+$ 时,有 $\xi\to x_0^+$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0^+}f'(\xi)=f'(x_0+0)$

2.同理可得 $f_-'(x_0)=f'(x_0-0)$

$\because \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=k$ 存在

$\therefore f'(x_0+0)=f'(x_0-0)=k$

$\therefore f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=k$

即 $f'(x_0)=k\qquad\mathcal{Q.E.D}$

人面猴
序言：七十年代末，一起剥皮案震惊了整个滨河市，随后出现的几起案子，更是在滨河造成了极大的恐慌，老刑警刘岩，带你破解...
沈念sama阅读 219,928评论 6赞 509
死咒
序言：滨河连续发生了三起死亡事件，死亡现场离奇诡异，居然都是意外死亡，警方通过查阅死者的电脑和手机，发现死者居然都...
沈念sama阅读 93,748评论 3赞 396
救了他两次的神仙让他今天三更去死
文/潘晓璐我一进店门，熙熙楼的掌柜王于贵愁眉苦脸地迎上来，“玉大人，你说我怎么就摊上这事。” “怎么了？”我有些...
开封第一讲书人阅读 166,282评论 0赞 357
道士缉凶录：失踪的卖姜人
文/不坏的土叔我叫张陵，是天一观的道长。经常有香客问我，道长，这世上最难降的妖魔是什么？我笑而不...
开封第一讲书人阅读 59,065评论 1赞 295
港岛之恋（遗憾婚礼）
正文为了忘掉前任，我火速办了婚礼，结果婚礼上，老公的妹妹穿的比我还像新娘。我一直安慰自己，他们只是感情好，可当我...
茶点故事阅读 68,101评论 6赞 395
恶毒庶女顶嫁案：这布局不是一般人想出来的
文/花漫我一把揭开白布。她就那样静静地躺着，像睡着了一般。火红的嫁衣衬着肌肤如雪。梳的纹丝不乱的头发上，一...
开封第一讲书人阅读 51,855评论 1赞 308
城市分裂传说
那天，我揣着相机与录音，去河边找鬼。笑死，一个胖子当着我的面吹牛，可吹牛的内容都是我干的。我是一名探鬼主播，决...
沈念sama阅读 40,521评论 3赞 420
双鸳鸯连环套：你想象不到人心有多黑
文/苍兰香墨我猛地睁开眼，长吁一口气：“原来是场噩梦啊……” “哼！你这毒妇竟也来了？” 一声冷哼从身侧响起，我...
开封第一讲书人阅读 39,414评论 0赞 276
万荣杀人案实录
序言：老挝万荣一对情侣失踪，失踪者是张志新（化名）和其女友刘颖，没想到半个月后，有当地人在树林里发现了一具尸体，经...
沈念sama阅读 45,931评论 1赞 319
护林员之死
正文独居荒郊野岭守林人离奇死亡，尸身上长有42处带血的脓包…… 初始之章·张勋以下内容为张勋视角年9月15日...
茶点故事阅读 38,053评论 3赞 340
白月光启示录
正文我和宋清朗相恋三年，在试婚纱的时候发现自己被绿了。大学时的朋友给我发了我未婚夫和他白月光在一起吃饭的照片。...
茶点故事阅读 40,191评论 1赞 352
活死人
序言：一个原本活蹦乱跳的男人离奇死亡，死状恐怖，灵堂内的尸体忽然破棺而出，到底是诈尸还是另有隐情，我是刑警宁泽，带...
沈念sama阅读 35,873评论 5赞 347
日本核电站爆炸内幕
正文年R本政府宣布，位于F岛的核电站，受9级特大地震影响，放射性物质发生泄漏。R本人自食恶果不足惜，却给世界环境...
茶点故事阅读 41,529评论 3赞 331
男人毒药：我在死后第九天来索命
文/蒙蒙一、第九天我趴在偏房一处隐蔽的房顶上张望。院中可真热闹，春花似锦、人声如沸。这庄子的主人今日做“春日...
开封第一讲书人阅读 32,074评论 0赞 23
一桩弑父案，背后竟有这般阴谋
文/苍兰香墨我抬头看了看天上的太阳。三九已至，却和暖如春，着一层夹袄步出监牢的瞬间，已是汗流浃背。一阵脚步声响...
开封第一讲书人阅读 33,188评论 1赞 272
情欲美人皮
我被黑心中介骗来泰国打工，没想到刚下飞机就差点儿被人妖公主榨干…… 1. 我叫王不留，地道东北人。一个月前我还...
沈念sama阅读 48,491评论 3赞 375
代替公主和亲
正文我出身青楼，却偏偏与公主长得像，于是被迫代替她去往敌国和亲。传闻我的和亲对象是个残疾皇子，可洞房花烛夜当晚...
茶点故事阅读 45,173评论 2赞 357