写论文的时候总是说，我们用pde来描述物理现象，但某些pde很难找到解析解，所以我们通过各种各样的方法去模拟他的数值解。但我今天突然发现，我自己并不完全理解背后的逻辑，就从头记一点东西。
About physical phenonmenas
在中学，我们学到的物理现象基本处于一个理想状态，而且大部分是处于均匀的变化。
例如如果想要求路程，知道初速度，稳定不变的加速度和时长，只要求速度变化直线的梯形面积就可以，
上底是v0，下底是v0+ at，高是t，面积S=1/2*（v0+vo+at）*t = v0t + 1/2at^2。但实际上的物理现象，速度就不是均匀变化的，它是根据环境实时变化的，也就是加速度不是恒定的，虽然速度仍然可以用函数表示，但他从一条直线变成了有波动的曲线，
这个时候想要知道距离，就需要用到积分，想知道加速度，就用到微分。而当我们想在现实中描述一个现象，一般来说是通过描述不同参数在时间和空间上的变化来表现这一现象，而描述参数的变化自然就会用到微分，可能是时间上的微分，可能是空间上的微分，针对其中一个维度的微分就被称为偏微分，用来表现在这个维度上此参数的变化情况。
然而这个变化一定要遵循某些物理基本定律的，也就是参数的偏微分形式遵循某种或某些“守恒”定律，在流体力学中，无论是多么复杂的流动情况，其流动都由三个基本的物理原理控制，即质量守恒定律、牛顿第二定律、能量守恒定律。这三个基本的物理原理分别对应三个控制方程，即流体力学的控制方程（连续性方程、动量方程、能量方程），这三个方程即是相应物理原理的数学描述，由这三个控制方程可以导出描述不同流体场的不同偏微分方程组（PDEs）。
About PDEs
既然有了方程组（也就是很详细的需求），我们想到的就是要尽量求出满足方程组的解（解决方案），
通常来说我们需要一个通用的解决方案，同性质的需求都能用，也就是解析解，能表达明确的因果关系，
但很多复杂的物理问题，求出通用的解析解存在相当大的困难，
针对具体问题和参数，数值解也就取而代之成为了此偏微分方程组的“解”。在许多情形下我们所研究的复杂事物在我们现有的理论框架下是不存在或是无法得到解析解的。
例如在N-S方程问题上，
· 首先，流体不可压缩的假定就是偏离真实的。
这就导致NS方程本身并非描述该真实流体的真实情况的绝对精确的数学模型。
· 关于对上述这个问题的理解，还有一个反向思维的方法：
即如果得到了某种情形下甚至任意情形下的NS方程的纯粹数学上的解析解，难道真实的流体的运动情形会仅仅符合这一种解析解的这一种计算结果？
· 而如果我们回到实际的物理世界，我们可以肯定的是：实际情况下，仅仅是边界条件在某处的某一个细微的变化，都会导致该流体后续的形态结构上的巨大变化，而这种边界条件在NS方程本身里是完全没有体现的，要体现也必须是体现在一个包括了NS方程在内的一套要复杂得多的大型甚至巨型方程组里才会出现对边界条件的变化的考量。
· 其次，更为重要的是，对真实流体过程的模拟计算，必须要考虑该真实流体的初值条件、边界条件和环境条件，
· 而实际的流场虽然我们可以做各种简化和概化，但这种简化和概化后的计算局面（即不同的初值、不同的边界条件和环境条件）通常仍然会是很复杂的，因此同样在理论上是得不到解析解通式的。
· 即使也许我们可以在进行分段或分情形简化后得到不同段或不同情形下的解析解通式，但在真实的运用情景中，这种解析解的适用面同样往往会非常狭窄，
· 因为真实的初值、边界条件和环境条件通常都不会那么简单，通常都会有大量的复杂且不可轻易忽视的具体细节，
· 这就最终会导致不得不仍然是进行分段/分区域计算的，而这种分段/分区域计算，本质上仍然是一种数值解法，只是将解析解和数值解进行了融合而已。
- 关于解析解与数值解：钱学森《对吴仲华作“燃气轮机研究报告”之意见》里写到：“因为作者采用了数值计算法，只能对一个选定的问题作了解答；不能对一般的、全面的燃气轮机问题作方向性的指示，故不能全面地领导燃气轮机的发展。”
谢力教授评论：这就是学院派和企业阵营的分歧。
· 钱作为CIT的冠名教授，他追求的是宽泛的、解析的 (gengeral, analytic) 、数学上美丽的结果；将“能全面地领导燃气轮机的发展”的工作“列为技术科学研究之最高成就”，这就是学术界的“道”。
· 而吴的工作与方法则来自于解决实际问题的需求，他之所以取得当时的结果，没有达到钱眼里的“最高要求”，也是实际问题所限。理论求真，工程求实，不断接近真和实
Reference:
物理或化学方程为什么往往是偏微分方程？
物理现象的描述为什么多用微分方程？
一阶微分方程的物理意义_物理现象的描述为什么多用微分方程？
[杂谈] 解析解与数值解--杨正瓴
为何有许多情形下是不存在解析解的？兼论NS方程的解析解--钟定胜
Answer from ChatGPT:
We use Partial Differential Equations (PDEs) to describe physical phenomena because they allow us to capture the complex dynamics of these systems. PDEs are mathematical equations that involve partial derivatives of a function with respect to time and space, and they describe how the function changes over time and space. // 写了一大篇不如chatgpt说三行通透。。。
Physical phenomena are often characterized by complex interactions between multiple variables that change over time and space. For example, fluid flow involves interactions between velocity, pressure, and viscosity, and these variables change continuously in space and time. Heat transfer involves interactions between temperature, thermal conductivity, and heat generation, and these variables also change continuously in space and time. Electromagnetic waves involve interactions between electric and magnetic fields, and these fields change continuously in space and time.//复杂的物理学现象由多种参数在时间和空间上的交互以及变化来确定并描述
PDEs allow us to capture these complex interactions and describe them mathematically. By solving these equations, we can predict how physical systems will behave under different conditions. This can help us to design more efficient engines, develop better materials, and understand the behavior of natural phenomena such as weather patterns and ocean currents.// 偏微分方程用数学的方法来表示这些参数交互，解pdes可以让我们明白它的运行机理，并依照其对不同条件下的结果进行预测。
Another advantage of using PDEs to describe physical phenomena is that they are amenable to numerical methods. These equations can be discretized and solved using numerical algorithms on a computer, allowing us to simulate and analyze complex systems that would be impossible to study analytically. This has revolutionized our ability to study and understand physical phenomena, and has led to numerous technological advancements in fields such as aerospace engineering, materials science, and climate science.//另一个优势在于偏微分方程所依赖的数学方法可以通过计算机辅助解决。
In summary, we use PDEs to describe physical phenomena because they allow us to capture the complex interactions between multiple variables that change continuously in time and space. By solving these equations, we can predict how physical systems will behave under different conditions, and this can help us to design more efficient systems and develop a deeper understanding of the natural world.
p.s. 近几年做助教，发现一个好老师真的很会引导学生，他可以把逻辑完全捋顺，让学生一步一步走的很踏实，从最基础最根本甚至是通识的事物来入手，讲清痛点，要解决什么，想怎么解决，用什么工具，这工具有什么优势，有什么缺陷，为什么他能解决问题，拆开了，揉碎了，一口一口喂，生怕学生噎着。但这样教学的成本也是很高的，首先需要上课的人已经对这个东西掌握的融会贯通之后，再化繁为简的讲授，还要有很大很大的耐心，因为学生不是ai，ai真学而学生不一定。。。我要尝试着把东西说明白，逻辑捋清楚。
