2021-03-25【一个求二面角的方法】

如图所示，已知 $AD\subset \alpha$ ， $AC\subset \beta$ ， $A\in l$ ， $B\in l$ ，不妨设二面角 $\alpha-l-\beta$ 的平面角为 $\theta$ ，则有： $\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta$

2020.png

证明：在平面 $\alpha$ 内过点 $D$ 作 $DE\perp l$ 于 $E$ ，在平面 $\beta$ 内过点 $E$ 作 $EF\perp l$ 交 $AC$ 于点 $F$ ，则 $\theta = \angle DEF$ .
在 $\triangle DEF$ 中，由余弦定理得：
$DF^{2}=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times\cos \angle DEF$
$=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times \cos \theta$ ，
在 $\triangle DAF$ 中，由余弦定理得：
$DF^{2} = DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAF$
$= DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC$ ，
而 $DE=DA\sin \angle DAE=DA\sin \angle DAB$ ，
$EF=AF\sin \angle FAE=AF\sin \angle CAB$ ，
所以 $DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC$
$= (DA\sin \angle DAB)^{2} + (AF\sin \angle CAB)^{2} - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta$ ，
所以 $(DA\cos \angle DAB)^{2} + (AF\cos \angle CAB)^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC$
$= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta$ ，
由图可知 $DA\cos \angle DAB = AF\cos \angle CAB = AE$ ，
于是 $2AE^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC$
$= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta$ ，
于是 $\cos \angle DAC = \frac{AE}{DA}\times\frac{AE}{AF} + \sin \angle DAB\sin \angle CAB\cos\theta$ ，
即 $\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta$

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