2021-03-25【一个求二面角的方法】

如图所示,已知AD\subset \alphaAC\subset \betaA\in lB\in l,不妨设二面角\alpha-l-\beta的平面角为\theta,则有:\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta

2020.png

证明:在平面\alpha内过点DDE\perp lE,在平面\beta内过点EEF\perp lAC于点F,则\theta = \angle DEF.
\triangle DEF中,由余弦定理得:
DF^{2}=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times\cos \angle DEF
=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times \cos \theta
\triangle DAF中,由余弦定理得:
DF^{2} = DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAF
= DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
DE=DA\sin \angle DAE=DA\sin \angle DAB
EF=AF\sin \angle FAE=AF\sin \angle CAB
所以DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= (DA\sin \angle DAB)^{2} + (AF\sin \angle CAB)^{2} - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta
所以(DA\cos \angle DAB)^{2} + (AF\cos \angle CAB)^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta
由图可知DA\cos \angle DAB = AF\cos \angle CAB = AE
于是2AE^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta
于是\cos \angle DAC = \frac{AE}{DA}\times\frac{AE}{AF} + \sin \angle DAB\sin \angle CAB\cos\theta
\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta

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