《空间解析几何与微分几何学习指导》习题精选

例3.9已知二次锥面方程
$x^{2}+y^{2}-z^{2} \tan ^{2} \alpha=0$ ，这里 $\alpha$ 是 $(0,\frac{\pi}{2})$ 内一个常数.如果不经过 $z$ 轴的一张平面 $\pi$ 与 $z$ 轴只相交于一点 $（0，0，a）$ ，这里 $a$ 是一个非零常数，已知平面 $\pi$ 与 $z$ 轴交角为锐角 $\beta (0<\beta<\frac{\pi}{2}）$ ，问当 $\beta$ 为何值时，平面 $\pi$ 与这二次锥面交线分别为抛物线、椭圆、双曲线？

例3.14由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 的中心 $O$ 任引3条相互垂直的射线，与曲面分别交于 $P_1，P_2，P_3$ 3点，这里 $a，b，c$ 是3个正常数.设 $O P_{i}=r_{i}(i=1.2,3)$
求证： $\frac{1}{r_{1}^{2}}+\frac{1}{r_{2}^{2}}+\frac{1}{r_{3}^{2}}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}$

例3.15求证：用通过坐标轴的平面和椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ （正常数a<b
<c）相截时，有且仅有两条截面曲线是圆.并说明这两张截面的位置.

例3.17设 $L_1$ 和 $L_2$ 是两条不相交的异面直线，分别通过 $L_1$ 和 $L_2$ 作两个互相垂直的平面.求证：交线的轨迹是单叶双曲面或两张相交平面.

例3.25设 $L_1$ ， $L_2$ 是两条异面直线，它们都与 $xy$ 平面相交于一点.求证：与 $L_1，L2$ 都相交并且与平面 $xy$ 平行的直线所组成的曲面是双曲抛物面。

例3.26设3条直线 $L_1，L_2，L_3$ 两两异面，且平行于同一平面.求证：与 $L_1,L_2,L_3$ 都相交的直线组成的曲面是双曲抛物面.

例3.27问参数曲线
$\boldsymbol{r}(t)=\left(a_{2} t^{2}+a_{1} t+a_{1}, b_{z} t^{2}+b_{1} t+b_{0}, c_{2} t^{2}+c_{1} t+c_{0}\right)$
的图形是什么？这里 $a_{j}, b,, c_{j}(j=0,1,2)$ 全是给定实数， $-\infty<t<\infty$ .说明理由.

例3.34化简二次曲面
$x^{2}+y^{2}-z^{2}+2 a x z+2 b y z-2 x-4 y+2 z=0$ ，这里 $a，b$ 是两个实数，并且求实数 $a，b$ 的关系式，使得这曲面是一个二次锥面。

例3.35已知椭圆抛物面。 $\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=2 z$ ，求过点 $（1，0，3）$ 且与这椭圆抛物面相交，交线恰为圆的所有平面方程.

例3.38在二次曲面 $2 x^{2}+y^{2}-z^{2}+3 x y+x z-6 z=0$ 上，求过点
$（1，一4，1）$ 的所有直母线方程.

例3.39求证：二次锥面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0$ 界于单叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 和双叶双曲面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=-1$ 之间，并证明这三者的距离随 $lzl$ 趋于无限大而趋于零.这里 $a，b，c$ 是3个正实数。

例3.40设二次曲面族 $\frac{x^{2}}{a^{2}-\lambda}+\frac{y^{2}}{b^{2}-\lambda}+\frac{z^{2}}{c^{2}-\lambda}=1$ ，这里正常数 $a>b> c>0$ ，对于不等于 $a^2，b^2$ 和 $c^2$ 的一个 $\lambda$ 值，它表示一个二次曲面.求证：对空间中任一点 $（x_0，y_0，z_0）$ ，这里 $x_0，y_0，z_0$ 是3个非零实数，恰有二次曲面族中的3张曲面通过，而且它们分别是单叶双曲面、双叶双曲面和椭球面.

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