加入控制变量后我的变量符号变了

1 背景

1.1 问题的引入

两小儿辩车

王小儿：我发现车越长越贵，比如，奥迪 A6L 就比 A4L 贵多；

李小儿：那也未必，奥迪 R8 只有 4米4，但可以买两辆 A6L了。

还有，我二爸开的那个公交车，12 米，才 30 万！

在大家做实证分析的最初阶段，经常会受到一个现象的困扰就是，原本主效应很符合预期目标，但加入了一个或几个控制变量后，主效应要么符号变了，要么不显著了。可是，关键控制变量不加入的话，审稿人必然会提出质疑。这是怎么回事了？
要回答这个问题，让我们先从条件期望说起。

1.2 什么是条件期望

1.2.1举例说明

春节临近，如何应对亲戚的“问候杀”，是一个亟待解决的现实问题。试想，举国欢庆的日子，大家齐坐一堂，面对读硕读博归家的你，七大姑问到：“大闺女，老大不小了，该干点正事谈个对象什么的呢，读那么多书干嘛呀”，你咽了咽口水“读书好啊，以后可以多挣钱孝敬您老人家”，话音未落，八大姑道：“哎呀瞎说，你看隔壁二狗子，高中没读完去做生意，现在赚老多钱了”….气氛顿时尴尬了，除了咽口水外，该怎么“杠”回去…

那就要了解条件期望的概念了：条件期望函数记为 $E(Y_i|X_i)$ ，是关于 $X_i$ 的函数，考虑到 $X_i$ 是随机的，所以条件期望函数也是随机的。比如给定 $X$ 为受教育水平的一个定值，如 $X=12$ ，那么 $E(Y_i|X_i=12)$ 就是表示所有读12年书的个体，其收入水平的期望值。

1.2.1用图说明

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图中，横轴表示受教育水平，纵轴则为收入，在每一个给定的受教育水平下（如：读大学12—16年），收入服从一个近似正态的随机分布。可以看到，由于存在着无法忽视的个体差异，使得某些低教育者的收入要高于某些高教育者的收入，但通常而言，教育水平高的人赚的更多。

看到这里，学习过初级计量经济学的同学肯定会想到，对，是“个人能力”的影响，是“个人能力”让二狗子和大闺女产生了收入的差异。确实如此，那么“个人能力”便是一个需要控制的重要变量。

2 Stata 实操

2.1 回到原例

2.1.1 加入控制变量和不加控制变量的回归分析结果做对比

让我们回到“小儿辩车”的引子。调入官方自带的汽车数据，研究汽车长度（length）对汽车价格（price）的影响。在多元回归中，加入的控制变量分别为里程数（mpg）和汽车重量（weight）

. sysuse "auto.dta", clear
. cap eststo clear
. eststo: reg price length
. eststo: reg price length mpg weight
. esttab, nogap 
. reganat price length mpg weight, dis(length) ///
.              biscat biline scheme(s2color)

2.1.2 回归结果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length              57.20***       -104.9** 
                   (4.06)         (-2.64)   
mpg                                -86.79   
                                  (-1.03)   
weight                              4.365***
                                   (3.74)   
_cons             -4584.9*        14542.4** 
                  (-1.72)          (2.47)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

对比length的系数可见，在一元回归时该系数显著为正（57.2），而加入控制变量后，系数为负（-104.9）并在10%的水平下显著。

2.1.3 利用reganat命令对多元回归模型进行图解检验。

[图片上传失败...(image-8106ad-1575624305408)]

虚线拟合线表示了不加入控制变量时length的影响，而实线是加入控制变量之后的。由之初的右上倾斜变为右下倾斜，这是一个本质性地改变。

2.2.1 原因分析

事实上，在多元回归 $Y_i=α+β_1x_i+β_2x_2+e_i$ 中，系数 $β_1$ 更准确的应该被称为偏回归系数，表示在剔除掉 $x_2$ 的“贡献”后， $x_1$ 对 $y$ 的影响。若 $x_1$ 与 $x_2$ 并不独立，那么错误的使用一元回归 $Y_i=α+β_1x_i+e_i$ ，系数 $β_1$ 中就包含了 $x_2$ 的一部分“贡献”。

2.2.1 通过实例演示

sysuse auto.dta, clear

先进行正常的多元回归，加入主效应变量length和控制变量mpg weight

reg price length mpg weight

est store m1

接着，我们利用解构回归（regression anatomy）来“解读”正常的多元回归：1.先用length对控制变量mpg weight进行回归，然后可以得到一个残差项。2. 再用被解释变量对上一步的残差项进行回归。

. reg length mpg weight
. predict e, res
. reg price e
. est store m2
. esttab m1 m2 , nogap.

2.2.3 估计结果

--------------------------------------------
                      (1)             (2)   
                    price           price   
--------------------------------------------
length         -104.9***       
                 (-2.64)        
mpg             -86.79                 
                  (-1.03)   
weight           4.365***
                  (3.74)   
e                                        -104.9*
                                        (-2.22)  
_cons           14542.4*          6165.3***
                    (2.47)            (18.46)   
--------------------------------------------
N                      74              74   
--------------------------------------------
t statistics in parentheses
* p<0.1, ** p<0.05, *** p<0.01

可以看到，最后得到的主效应估计结果一致，均为-104.9。在用length对控制变量mpg weight回归后得到的残差项，其实表示length剔除了其他解释变量对自己的影响，再与被解释变量的回归就是一个“净”的效应。

3 结语

可见，加入控制变量后，我们关心的估计系数是否会产生变化，取决于与控制变量之间的独立性。
我们列出将会出现的四种情形

与控制变量之间完全独立，则加入控制变量对估计系数无影响（情形1）
[图片上传失败...(image-ad1300-1575624305408)]
与控制变量之间高度相关，则加入控制变量与的估计系数都不显著（情形2）
[图片上传失败...(image-3d7275-1575624305409)]
与控制变量之间相关，且完全通过控制变量的“途径”来影响，则估计系数不显著（情形3）
[图片上传失败...(image-bd0f7c-1575624305409)]
与控制变量之间相关，则加入控制变量估计系数会出现大小和符号变化。具体变化取决于与控制变量间的正负相关性。（情形4）
[图片上传失败...(image-827ede-1575624305409)]

2019-11-23