随机变量函数的分布
开篇先引出问题
问题：已知随机变量 
的分布，)
，函数 )
已知，求 
的分布。
例 1： 设随机变量 的概率分布律为 
，求 的概率分布律。
解： 由题意可知， 的可能取值为 -1， 0， 1。而 ，所以可知 可能取值为 0 和 1。
又因为 ，从而 %5Cbigcup(X%3D-1)%5C%7D)
因此 %3DP(X%3D0)%3D0.6)
%20%3D%20%5C%7BP(X%3D1)%20%5Cbigcup%20P(X%3D-1)%5C%7D%20%3D%20P(X%3D1)%20%2B%20P(X%3D-1)%3D0.4)
的概率分布律如下：
例 2： 设随机变量 X 的概率密度函数为
%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20%5Ccfrac%7Bx%7D%7B8%7D%20%2C%26%200%3Cx%3C4%3B%20%5C%5C%20%5C%5C%200%2C%20%26%20%5Ctext%7B%E5%85%B6%E4%BB%96%7D%20%5Cend%7Bcases%7D)
求 的概率密度函数。
解： 由题意可知 %3D1)
，从而 %3D1)
.
故 %3D0)
，当 %20%E6%97%B6.)
当 )
时，先考察 的分布函数：
%3DP%5C%7BY%5Cleq%20y%5C%7D%26%3DP%5C%7BX%5E%7B2%7D%5Cleq%20y%5C%7D%3DP%5C%7B-%5Csqrt%20y%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%5Csqrt%7By%7D%5C%7D%20%5C%5C%20%26%20%3DP%5C%7B0%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%5Csqrt%7By%7D%5C%7D%20%3D%20%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Csqrt%7By%7D%7D%20%5Ccfrac%7Bt%7D%7B8%7D%20%5C%2C%20%7B%5Crm%20d%7Dt%20%3D%20%5Ccfrac%7By%7D%7B16%7D%20%5Cend%7Baligned%7D)
故 %3DF'_Y(y)%3D%5Ccfrac%7B1%7D%7B16%7D.)
即 
服从均匀分布 .)
或者
当 %20%E6%97%B6)
，先考察 的分布函数：
%3DP%5C%7BY%5Cleq%20y%5C%7D%20%26%3D%20P%5C%7BX%5E%7B2%7D%20%5Cleq%20y%5C%7D%20%3D%20P%5C%7B-%5Csqrt%7By%7D%5Cleq%20X%20%5Cleq%20%5Csqrt%7By%7D%5C%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20P%5C%7BX%5Cleq%20%5Csqrt%7By%7D%5C%7D%20%3D%20F_X(%5Csqrt%7By%7D)%20%5Cend%7Baligned%7D)
故 %3DF'_X(%5Csqrt%7By%7D)%3Df_X(%5Csqrt%7By%7D)%C2%B7%5Ccfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7By%7D%7D%20%3D%20%5Ccfrac%7B%5Csqrt%7By%7D%7D%7B8%7D%C2%B7%5Ccfrac%7B1%7D%7B2%5Csqrt%7By%7D%7D%3D%5Ccfrac%7B1%7D%7B16%7D.)
即 服从均匀分布 .)
一般，若已知 的概率分布， ，求 Y 的概率分布的过程为：先给出 的可能取值；在利用等价事物来给出概率分布。
- 若 为离散型随机变量，则先写出 的可能取值：
再找出 
的等价事件
，得 %3DP(X%5Cin%20D)%3B)
- 若 为连续型随机变量，先根据 的取值范围，给出 的取值范围；然后写出 的概率分布函数：
%3DP(Y%5Cleq%20y))
，找出 
的等价事件 ，得 %3DP(X%5Cin%20D))
；再求出 的概率密度函数 .)
定理： 设随机变量 %2C%20-%5Cinfty%3Cx%3C%2B%5Cinfty%2CY%3Dg(X)%2Cg'(x)%3E0)
(或 %3C0)
)，则 具有概率密度为：
%3D%20%5Cbegin%7Bcases%7D%20f_X(h(y))%C2%B7%7Ch'(y)%7C%2C%20%26%20%5Calpha%20%3C%20y%20%3C%20%5Cbeta%2C%20%5C%5C%20%5C%5C%200%2C%20%26%20%5Ctext%7B%E5%85%B6%E4%BB%96%7D.%20%5Cend%7Bcases%7D)
注意：
- 这里
)
是 的取值范围，其中：%2C%20%5Cbeta%3Dg(%2B%5Cinfty).)
当 %3C0)
时，%2C%20%5Cbeta%3Dg(-%5Cinfty))
- h 是 g 的反函数，即
%3Dx%20%5Ciff%20y%3Dg(x))
.
例 3： 设 %2C%20Y%3DaX%2Bb(a%5Cneq%20b))
，求 的概率密度
解： %3Dax%2Bb%2Cg'(x)%3Da%5Cneq%200%2C)
%3D(y-b)%2Fa%2C%20h'(y)%3D1%2Fa%2C)
![\begin{aligned} f_Y(y)&=f_X\left(\cfrac{y-b}{a} \right)· \cfrac{1}{|a|}=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \, {\rm exp} \left[- \cfrac{\left((y-b)/a-\mu\right)}{2\sigma^{2}} \right] · \cfrac{1}{|a|} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma}\, e^{\cfrac{[y-(a\mu+b)]^{2}}{2a^{2}b^{2}}} \implies Y\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2}) \end{aligned}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cbegin%7Baligned%7D%20f_Y(y)%26%3Df_X%5Cleft(%5Ccfrac%7By-b%7D%7Ba%7D%20%5Cright)%C2%B7%20%5Ccfrac%7B1%7D%7B%7Ca%7C%7D%3D%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%5Csigma%7D%20%5C%2C%20%7B%5Crm%20exp%7D%20%5Cleft%5B-%20%5Ccfrac%7B%5Cleft((y-b)%2Fa-%5Cmu%5Cright)%7D%7B2%5Csigma%5E%7B2%7D%7D%20%5Cright%5D%20%C2%B7%20%5Ccfrac%7B1%7D%7B%7Ca%7C%7D%20%5C%5C%20%26%3D%20%5Ccfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D%7Ca%7C%5Csigma%7D%5C%2C%20e%5E%7B%5Ccfrac%7B%5By-(a%5Cmu%2Bb)%5D%5E%7B2%7D%7D%7B2a%5E%7B2%7Db%5E%7B2%7D%7D%7D%20%5Cimplies%20Y%5Csim%20N(a%5Cmu%2Bb%2Ca%5E%7B2%7D%5Csigma%5E%7B2%7D)%20%5Cend%7Baligned%7D)
一般地，若随机变量 )
，则有 )
例如：
%2C%20Y%3D3-2X)
%5E%7B2%7D%5Ctimes%203%20%3D%2012)
)
的分布是什么？
均服从正态分布，在身高
确定的情形下，则体质指数
服从什么分布？
