关于青蛙与睡莲故事很多人都听过，这里是比较完整的版本
有一群青蛙幸福地生活在一个大池塘的一角。池塘的另一边有一片睡莲。一天，池塘里面流进来了一些具有刺激睡莲生长的化学污染物，它们可以让睡莲每24小时增长一倍。这对青蛙而言是个问题，因为如果睡莲覆盖了整个池塘，青蛙就将被赶出池塘。
这里有3个问题：
1.你如何描述睡莲的增长?
2.如果睡莲可以在50天内覆盖整个池塘，那么什么时候池塘会被覆盖一半?
3.如果青蛙有一种阻止睡莲生长的方法，但是需要花10天时间来将这个方法付诸实施。请问池塘被睡莲覆盖的面积最大可以达到多少百分比时，青蛙仍然还有可能采取行动挽救自己?
答案1：
这个故事的增长模式就是每经过一定的时间(这里是24小时)，睡莲就会增长一倍。就像我们所见到的那样，这正是指数增长的特征之一。事实上，所有生物种群都将不可避免地指数增长，只不过每一时刻的增长速率都由当时的出生速率和死亡速率之差确定而已。
如果睡莲需要50天才能覆盖池塘，而且它们每天增长一倍，那么第49天结束的时候，池塘就将被遮盖掉一半--面不是在第25天。如果增长是线性的。那么池塘确实会在第25天结束时被睡莲覆盖一半。很多人对第二个问题的回答是25天，这在很大程度上可能是因为对于大多数人来说，想象线性增长的情形要比想象指数增长的情形来得容易。
一旦指数增长开始表现出要快速增长的迹象，它的增长速度就确实非常快因此，从另一个角度看，结论就是指数增长开始的时候非常慢。第三个问题就特别强调了这一点。
这个问题指出，青蛙可以阻止睡莲的增长，但是一共需要10天时间才能完成这项工作。因此，如果它们希望自己的工作能够收到效果，则它们最迟也要在第40天结束之前开始行动;否则，它们就必然会落后于睡莲一一睡莲们将会赢得这场竞争。一旦时间走过了第40天，青蛙就只能束手就擒了--它们的末日到了。
40天的时候池塘会被睡莲覆盖多少?解决这个问题的最简单方法就是倒推。我们已经知道，到第50天结束的时候池塘会被睡莲完全覆盖;第49天结束的时候被覆盖1/2;第48天结束的时候被覆盖1/2x1/2=1/4;第47天结束的时候被覆盖1/2x1/2x1/2=(1/2)3……依此类推。这意味着在第40天结束的时候，也就是青蛙能够采取行动的最晚时间，此时池塘已经被睡莲覆盖了(1/2)。1/2是一个非常非常小的数字--只是0.00098，比1/1000还要小。就这样，在必然灭亡的10天之前，睡莲所覆盖的面积尚不到整个池塘的1/1000!
从池塘这边青蛙的观点来看，它们必须对很远很远地方发生的、非常非常小的事情保持警惕、并及时采取行动。如果它们在危险真正降临之前没有采取行动，比如它们突然发现睡莲已经覆盖了池塘的1/4甚至是1/2，那么、一切都晚了。
所有增强回路的自然行为--指数增长，可能会将你引入歧途。在初期，它增长得如此缓慢，以至于你很难注意到它的增长。但突然之间，它就变成了一个庞然大物。
指数增长是这后边的推动力，也许我们会说我们周边多数事物都不是指数增长，甚至不是线性增长，更多的是波浪起伏。在短时间来看可能是如此，但是在稍长时间维度来看，很多变化呈现出指数特征。
也许我们在报纸或电视上看到关于全球变暖、化石燃料耗尽、臭氧层漏洞或者某种物种又灭绝等类似消息时，希望我们能想到青蛙的故事 。
