资产组合理论（三）

一般情况：N个风险资产

和之前涉及两个风险资产的方法类似，我们首先只研究风险资产之间的关系。

风险资产组合

我们首先先考虑整个资产组合投资的全部都是风险资产，对于资产i的投资比例为 $w_i$ ：
$w_i = \frac{\text{第i项资产的市值}}{\text{资产组合总市值}}$

$\sum_{i=1}^{N} w_i = 1$

这里我们使用矩阵的记号，则上式可以改写成：
$\mathbf{w}^T\mathbf{1}_{N} = 1$

$\mathbf{w}$ 是表示权重的N维列向量;
$\mathbf{1}_N$ 是表示所有元素都为1的N维列向量。

类似的，资产组合额期望收益 $\mu_{\Pi}$ 和标准差 $\sigma_{\Pi}$ 可以写成：
$\begin{align} & \mu_{\Pi} = \mathbf{w}^T\boldsymbol{\mu} \\ & \sigma_{\Pi} = \sqrt{\mathbf{w}^T\Sigma\mathbf{w}} \end{align}$

其中 $\boldsymbol{\mu}$ 表示各资产期望收益的N维列向量；

$\Sigma$ 表示为：

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_1^2 & \rho_{12}\sigma_1\sigma_2 & \cdots & \rho_{1n}\sigma_1\sigma_n\\ \rho_{21}\sigma_2\sigma_1 & \sigma_2^2 & \cdots & \rho_{2n}\sigma_2\sigma_n\\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ \rho_{n1}\sigma_n\sigma_1 & \rho_{n2}\sigma_n\sigma_2 & \cdots & \sigma_N^2 \\ \end{bmatrix}$

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