【初中数学】特殊角度的直角三角形（30度、45度）

作者介绍：
大爽老师，以前做过高中数学线上一对一辅导老师
现在赋闲在家，与大家分享一些初高中数学的知识，方法与思路。

适用范围: 初二下学期，学完勾股定理（人教版第17章）之后。

核心掌握

$30^\circ$ 和 $45^\circ$ 度的直角三角形的边的关系如下。

11_1.png

注意：图中数字展示的是边之间的倍数关系。

即以下两个结论（重点）

等腰直角三角形，斜边是直角边的 $\sqrt 2$ 倍
在 $30^\circ$ 的直角三角形中， $30^\circ$ 所对的直角边是斜边的一半。
( $60^\circ$ 所对的直角边是 $30^\circ$ 所对的直角边的 $\sqrt 3$ 倍)

详细证明

等腰直角三角形

$不妨设一条直角边长为a, \\ 则另一条直角边也为a (等腰)\\ 根据勾股定理，斜边的长为 \\ \sqrt {a^2 + a^2} = \sqrt {2a^2} = \sqrt 2 a \\ 即斜边是直角边的\sqrt 2倍$

30度的直角三角形

关键是证明出
$30^\circ$ 所对的直角边是斜边的一半。

之后的 ( $60^\circ$ 所对的直角边是 $30^\circ$ 所对的直角边的 $\sqrt 3$ 倍)则可以用勾股定理很快得到。

这里提供两种证明方式，一简单，一稍复杂。

证法1：翻折创造等边三角形

11_2.png

$\begin{align} & 如图所示，延长AB至D, 使得BD=AB \\ & \begin{cases} BC = BC \\ \angle ABC = \angle DBC = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \triangle ABC \cong \triangle DBC (SAS)\\ AB = DB \end{cases} \\ & \therefore \angle D = \angle A = 60^\circ, \triangle ADC 是等边三角形。 \\ & \therefore AC = AD = 2 AB \\ \end{align}$

证法2：斜边中线

定理: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
平行四边形那一章节里会学到该定理(人教版第十八章初二下学期)。

11_3.png

$\begin{align} & 如图，取AC中点D，连接BD。\\ & \because 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半\\ & \therefore BD = \frac 1 2 AC = AD = DC \\ & \because 等腰\triangle ADB 中，\angle A = 60^\circ \\ & \therefore \triangle ADB 是等边三角形\\ & (有一个角是60^\circ的等腰三角形是等边三角形) \\ & AB = AD = \frac 1 2 AC \end{align}$

之后根据勾股定理可得

$BC = \sqrt {AC^2 - AB^2} = \sqrt {(2AB)^2 - AB^2} = \sqrt3 AB$

基础练习1

如下图所示，求出每一个特殊三角形中，对应的边长(红色标记的字母)

11_4.png

基础练习2

$如下图所示，\triangle ABC中，\angle BAC=90^\circ，\angle C=60^\circ，\\ AC=4，AD \perp BC，求BD的长。$

11_5.png

拓展练习

如下图所示，求出每一个特殊三角形中，对应的边长(红色标记的字母)

11_6.png

答案

基础练习1

$a = \sqrt 2$
$a = \sqrt 3， c = 2 \sqrt 3$
$c = 1$
$a = \frac 5 2， b = \frac 5 2 \sqrt 3$

基础练习2
BD=6

思路: $BC= 2AC= 8, DC=\frac 1 2 AC = 2, BD= BC - DC = 6$

拓展练习

$b = 2\sqrt 6$
$b = 3 \sqrt 2， c = 2 \sqrt 3$

思路如下图:

11_7.png

最后编辑于：2022.07.02 10:59:30

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