一、复数定义
二、复数运算与几何意义
复数可以表示为复平面的向量，其中a为实轴坐标，b为虚轴坐标。
对任意两个复数 
复数加法法则
由向量加法的平行四边形法则，可得
%20%2B%20(b_1%2Bb_2)i)
不同于向量的点积（内积）
%20%5Ccdot(x_2%2Cy_2)%20%3D%20x_1x_2%20%2B%20y_1y_2%20%2C%20%E6%88%96%E8%80%85%20%5Cvec%7Ba%7D%20%5Ccdot%20%5Cvec%7Bb%7D%20%3D%20%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C%7C%5Cvec%7Bb%7D%7Ccos%5Ctheta)
以及 向量的叉乘（外积）
复数乘法法则为
共轭复数：
复数对实轴的反射，
。
极坐标下的复数乘法
(B%5Cangle%5Ctheta)%20%3D%20(AB)%5Cangle(%5Calpha%2B%5Ctheta))
三、欧拉公式
欧拉公式的幂级数论证
所以
%5E2%7D%7B2!%7D%20%2B%20%5Cfrac%7B(i%5Ctheta)%5E3%7D%7B3!%7D%20%2B%20...%2C)
由 正弦和余弦展开式，显然欧拉公式成立。
欧拉公式将指数和正余弦函数统一起来，一些三角函数用指数形式很容易解决和理解。
四、复指数信号
连续复指数信号
对于连续复指数信号 %3De%5E%7Bi%5Comega%20t%7D)
,可以看成是以角速度
转动，转动时间为
的信号。显然复指数信号可以分解上正弦信号和余弦信号。
%2Bisin(%5Comega%20t))
当不等于0时，所有的
都是周期信号，是随着时间的增长，在单位圆上，以角速度做周而复始的圆周运动，显然必然会在一定的时间
回到相同的位置，最小时，即刚好转动一周的时间叫做基波周期。因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，而复指数信号是周期的，所以正余弦信号也都是周期的并且其周期相同。
离散复指数信号
对离散复指数信号![x[n]=e^{i\omega n}](https://math.jianshu.com/math?formula=x%5Bn%5D%3De%5E%7Bi%5Comega%20n%7D)
,
为0到无穷上的正整数。该信号可以理解为每隔弧度在连续复指数信号上的采样，离散复指数信号也可以分解成离散的正余弦信号。和连续复指数信号不同的是，离散复指数信号不一定是周期的。对离散信号而言，周期信号的定义为：
![x[n+N]=x[n]，N为正整数](https://math.jianshu.com/math?formula=x%5Bn%2BN%5D%3Dx%5Bn%5D%EF%BC%8CN%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%95%B4%E6%95%B0)
。
当
能整除时，即
时，显然此时，离散复指数信号时周期的并且周期信号为N，对应连续信号刚好转动一周。
当
,
也为正整数，表示连续信号转动的周数。当
时，则间隔
个点，或者间隔
，又回到了相同的地方，所以此时离散信号也是周期的，最小时对应的为基波周期。
其他情况，无论转动多少周，都会不到原点，显然是非周期的。
同样离散复指数信号对应的离散正弦和余弦有相同的性质，即有相同的基波周期。
离散信号和连续信号另一个主要不同是，当
时：
n%7D%3De%5E%7Bi2%5Cpi%20n%7De%5E%7Bi%5Comega%20n%7D%3De%5E%7Bi%5Comega%20n%7D)
显然角速度和角速度
对应的离散信号完全一致。从几何上理解就是，即间隔和间隔
，从圆上采样，显然结果没有区别。也就是说当角速度
时，不会再有新的信号。
因为正弦信号和余弦信号是复指数信号在两个坐标轴上的投影，所以离散正余弦信号也有这个特点，即
%3Dcos((%5Comega%20%2B2k%5Cpi%20)n))
,
为非负这整数。
参考文献：
复分析-可视化方法
