章一 函数与极限——01映射与函数——（1）映射

同济七版    P1-3

一、映射

映射的定义：

X、Y非空集合，存在对应法则f，使得X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，那么称f为从X到Y的映射，

记作：f：X→Y

y是x的像，y=f（x）

x是y的一个原像，

X是f的定义域，记作D_{f} ，

D_{f} =X

X中所有元素的像组成的集合称为f的值域，记作R_{f}  或f（X）

R_{f}  = f（X）= \left\{ f（x）|x\in X \right\}

解释：符号R：Range 范围     D：Domain 域/定义域

特别注意：

1. R_{f} \subset Y ， R_{f}  是 Y 的子集，但 R_{f}  不一定等于 Y；

2. x 对应的 y 只能有一个，y 对应的 x 可以有多个；


分支概念：

01. 满射：f：X\rightarrow Y，Y中任一元素y都是X中某元素的映射，满射时：R_{f} =Y

02. 单射：f：X\rightarrow Y，X中任意两个元素x_{1} \neq x_{2} ，Y中x的像f（x_{1} ）\neq f（x_{2} ）

（此处注意：f（x）的集合可能\neq Y）

03. 双射：即一一映射，满足满射的条件：f 是单射，同时是满射。

04. 算子：映射的别称。

（①X上的泛函：X是非空集合，f：X\rightarrow Y，f称为X上的泛函。关于泛函，我看到一种通俗的理解：函数的函数。

   ②X上的变换：X是非空集合，f：X\rightarrow X，即定义域和值域都是X

   ③X上的函数：X、Y都是实数集，f：X\rightarrow Y。这个比较简单，不赘述）

暂无相关例题，待补充……


二、逆映射与复合映射

1、逆映射

有一个映射f：X\rightarrow Y，值域R_{f} 。

如果定义一个新的映射g，从R_{f} 到X，就有：g：R_{f} \rightarrow X

g是f的逆映射（还要满足条件：①y\in R_{f} ；②f（x）=y）

这个逆映射可以有几种形式：

g（y）=x    或      f^-1


逆映射的定义域：D_{f^-1 } =R_{f}   （原来映射的值域变成了新映射定义域）

逆映射的值域：R_{f^-1 } =X    （原来映射的定义域变成新映射的值域）

特别注意：只有单射（包括双射）才有逆映射。

逆映射举例：正弦函数\sin x

f：[-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2}]\rightarrow [-1,1]        f(x)=\sin x     D_{f} =[-\frac{\pi }{2}, \frac{\pi }{2} ]     R_{f} =[-1,1]

g:[-1,1]\rightarrow [-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} ]         g(x)=f^-1(x) =arc\sin x , x\in [-1,1]     

对于逆映射f^-1 ：D_{f^-1 } =[-1,1]         R_{f^-1 } =[-\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2} ]

【即映射与逆映射的定义域、值域互换】


2、复合映射

现有两个映射：

g：X\rightarrow Y_{1}           f：Y_{2} \rightarrow Z

如果Y_{1} \subset Y_{2}  ， X 到Z 可以产生一个新的对应法则（新映射），同时，g与f也构成复合映射。

记作：f\circ g

其对应法则：f\circ g:X\rightarrow Z

表达式：f\circ g(x)=f[ g(x) ] , x\in X

划重点：

① g与f 构成复合函数的条件：R_{g} \subset D_{f}

② f\circ g 有意义\neq g\circ f有意义       

    f\circ g 与 g\circ f 均有意义 \neq  (f\circ g=g\circ f)

书本例子：

\Rightarrow 求复合函数 f\circ g(x) 的值。

g和f构成复合映射，

g：R\rightarrow [-,1,1]  ,   g(x)=\sin x   ,   x\in R    （自变量是x）

f:[-1,1]\rightarrow [0,1]  ,   f(u)=\sqrt{1-u^2 }   ,   u\in [-1,1]      （自变量是u）

求复合函数(f\circ g)(x)的值。


解：(f\circ g)(x)=f[g(x)]=f(\sin x )=\sqrt{1-sin^2x } =\vert \cos x \vert


延伸：关于计算过程{1-sin^2 x } =cos^2x   运用了三角函数公式中的平方关系公式。

平方关系公式：

① \sin^2 x +\cos^2 x =1

② 1+\tan^2 x =\sec^2 x        \implies f(x)=\sec x  是正割函数，是 \cos x  的倒数。

【关于\sec x ：

（以图上三角形为例）                \sec A = \frac{c}{ b }                      \sec B=\frac{c}{a}

y=\sec x 的函数图像如下：


正割函数

更详细的解释见：sec x 正割函数】

③ 1+\cot^2 x =\csc^2 x

\implies  \cot x  ：余切函数，

\implies  \csc x ：余割函数，

【关于\cot x ：

在三角函数中，\cot x =\frac{\cos x }{ \sin x }   

例如，有一三角形：

\cos A= \frac{b}{c}        \sin A=\frac{a}{c}        \cot A= \frac{b}{a }  （即邻边比对边）

坐标轴中，\cot x =\frac{x}{y} ，余切函数的图像：

余切函数

】

【关于\csc x （余割函数）：

\csc x  是\sin x 的倒数，即\csc x \times \sin x =1

在三角形中，

\csc A=\frac{c}{a} （斜边比对边）

在直角坐标系中，\csc \alpha =\frac{r}{y}

函数图像如下：


余割函数

】

补充：更多的三角函数公式：

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