反常积分的计算

定义

常义积分 $\int_{a}^{b} f(x) d x$

积分限有限，且被积函数有界（有界不一定可积，可积一定有界）

反常积分

无穷限反常积分（第一类反常积分）
无界函数反常积分（第二类反常积分）

无穷限反常积分

定义

$\int _a^{+\infty} f(x) d x=\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$

如果 $\lim _{b \rightarrow+\infty} \int_{a}^{b} f(x) d x$ 的极限存在，那么说明 $\int_{a}^{+\infty} f(x) d x$ 反常积分收敛。

无穷限反常积分只应有一个积分限为无穷，若上下限均为无穷限，积分应拆开。
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\int_{-\infty}^{c} f(x) d x+\int_{c}^{+\infty} f(x) d x$

拆成的两个反常积分只要有一个极限不存在，那么说明整个反常积分发散。

计算

方法一

通过定义，利用极限来计算

方法二

利用类似牛顿-莱布尼兹公式的形式，若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，引入写法
$F(+\infty)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \quad F(-\infty)=\lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)$
从而有
$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{a} ^{+\infty}=F(+\infty)-F(a)\\ \int_{-\infty}^{b} f(x) d x=\left.{F(x)}\right|_{-\infty} ^{b}=F(b)-F(-\infty)\\ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x=\left.F(x)\right|_{-\infty} ^{+\infty}=F(+\infty)-F(-\infty)$

例题

1

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{1+x^{2}} d x$

2

讨论这个反常积分的敛散性
$\int_{a}^{+\infty} \frac{d x}{x^{p}} \quad(a>0)$

无界函数反常积分

瑕点

若 $f(x)$ 在 $x_0$ 任一邻域内均无界，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的瑕点。

瑕积分定义

$f(x)$ 在 $(a,b]$ 连续， $a$ 为瑕点， $f(x )$ 在 $(a,b]$ 反常积分定义为
$\int_{a}^{b} f(x) d x=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0^{+}} \int_{a+e}^{b} f(x) d x=\lim _{t \rightarrow a^{+}} \int_{t}^{b} f(x) d x$

例题一

$\int_{-1}^{1} \frac{1}{x^{2}} d x$

注意

如果可积的被积函数在积分区间中仅存在有限个第一类间断点，本质上可看作常义积分。
若遇到两类广义积分综合，应该划分积分区间，分别讨论每一区间的反常积分。

例题二

1

$\int_{0}^{+\infty} t e^{-t} d t$

2

$\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{x}{1+x^{2}} d x$

一定要注意有瑕点

3

$\int_{0}^{+\infty} \frac{1}{(1+x)\left(1+x^{2}\right)} d x$

4

讨论下面积分的收敛性
$\int_{a}^{b} \frac{d x}{(x-a)^{p}}(p>0)$

5

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反常积分的计算

定义

无穷限反常积分

定义

计算

方法一

方法二

例题

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无界函数反常积分

瑕点

瑕积分定义

例题一

注意

例题二

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