广中平祐《可变思考》这本小书其貌不扬，不知道是大道至简，还是直接心灵，读起来很有趣味，也很有共鸣。里面谈教育，说讲干货是最没意思的，可能更有意思的是将想法，不过也不是通常说的讲图像，而是一种思维方式，不是怎么到达终点，也不是怎么到达终点，而是为什么这样会到达终点。回想自己也是这样转变的呀。
这里并不是想说广义相对论和量子场论物理上的联系，而是想类比一下理论本后的逻辑方面。
量子理论 | 广义相对论
Ordinary QM | Flat spacetime
首先我想解释ordinary QM，也就是textbook QM 对应了 平直时空的情况。
在GR里，研究的对象是时空流形。时空流形的物理实在是event 的集合和关系。
在QM里，研究的对象是量子系统。根据Heisenberg cut的想法，可以把量子系统和做实验的观测者分开。那么量子系统本身的物理实在是 state的集合，和state随时间的演化。
对于物理实在，我们可以给一个表示。
在GR里，表示就是一个坐标卡: event 。
在QM里，表示是一个Hilbert space：state 。
这个表示既可以理解为物理实在的表示，也可以理解为对物理实在操作，即算符的表示。
在QM里，算符更容易理解一些，可以对应某种测量(实验装置)。比如一个算符我们可以把他写成投影算符的叠加:
。每个投影算符可以认为代表了一个yes or no的问题，比如薛定谔的猫是死是活？
在GR里，类比在QM里算符是对state的操作，算符对应了切向量, 它作用在坐标
上，更一般的它也作用在关于坐标的函数
上。切向量
相应地可以写成基向量的叠加：
。
对于多粒子态，量子算符可以表示为
在GR里，这对应了从切向量到高级张量的推广。
在ordinary QM里，确定算符的代数后，表示是唯一的，即只有唯一一个等价类。所以我们从任何一个可以使用任何一个合理的Hilbert 空间，它们都是等价的。
同样的，在GR里，所有的坐标都是等价的。
QFT or statistical mechanics in the thermodynamic limit | curved spacetime
下面再来看弯曲时空和QFT 或者热力学极限下的统计系统的联系。
在QFT里，存在不等价的表示，也就是存在不等价的Hilbert空间。注意这里我们并没有假设QFT定义在一个弯曲时空上面，还只是考虑一个平直时空上面的QFT。
在GR里，时空是弯曲的一种直观理解是，不同的坐标不是等价的，即不同的坐标并不能通过微分同胚联系起来。比如对于二维球面，南半球的坐标与北半球的坐标
的关系是
很明显，这个变换在处失效。在GR里，其实我们知道，对于弯曲时空，一般不存在一个单一的坐标卡覆盖整个流形，而是要通过坐标卡集(atalas)：
连接起来，这定义了流形的微分结构。注意流形的微分结构可以不唯一。
利用这个GR的直觉，我们来理解一下QFT中的不等价表示的问题。考虑一个无穷长自旋链。注意无穷并不是一个数，它是一个极限，无穷和无穷是等价的。也是说你在这个无穷链中，加入或减少个别自旋是没有影响的。但是他们对应了不同的算符的表示！在具有无穷多自由度的量子系统里，讨论Hilbert空间是不方便的，碰到我刚才提到无穷是个极限这个问题。(当然无穷与无穷之间也是可以比大小的，这里先不讨论。) 有良好定义的是算符的代数。有点像Dirac的Dirac sea的想法：我们考虑它的子代数
，子代数里面的算符几乎作用在所有的自旋上面，但是有个别
数量的算符它不作用。可以想象，每个子代数都这样一个带有空穴的在算符空间的中Dirac sea。这个无穷长自旋链或者一个QFT的内禀性质的数学描述是这些子代数的合集称为 the net of algebra。每个子代数都可以有一个表示，例如利用GNS construction。把这些表示和合起来可以认为定义了一个完整的表示。可以想象，这样一个拼接结构如果GR里面的微分解构一样可以是不唯一的。注意，这只是一个种逻辑上的类比。或称为虚构推理。 从QM直接的理解方式是，每个子代数的表示也都是一个Hilbert space。GNS构造可以理解为一个纯化过程。但是纯化的方案远远不是唯一的！
我们再反思一下刚刚的逻辑。在GR里为什么我们是用一些开集来覆盖流形？在每一个开集里，我们都能定义良好的切线性空间。这是因为时空流形的拓扑性质比较好，允许我们这么做。但是如果我们任意选取一些奇怪的集合呢？在每个奇怪的集合里，算符就可能不再构成一个
上的切空间。比如时空不是由流形而是由概形(scheme)描述的。从这个反思里我们可以想象，在QM里，state空间并不是一个流形！（Q: 它是什么呢？）, 所以虽然我们给每个子代数都找到了一个表示，但是这个GNS方法构造出来的QM不一定是一个ordinary QM。其实我们已经知道，QFT的子代数的Type III vN 代数，而不是ordinary QM里的Type I 代数。
Type I 代数的特点是自带一个trace的定义。这与流形上的切空间自带一个norm 的定义相呼应。
如果把流形推广到概形，概形上面的类似切空间的概念是Zariski 切空间。通常Zariski 切空间上是没有norm的定义的，这正呼应了Type III 代数不存在trace。
Type II 呢？我知道Type II上可以定义trace，但是无穷大。所以我们可以想象一个可以在Zariski 切空间上定义norm，但是norm总是无穷大的概形。但似乎只是引入了更复杂的数学概念。并没有给我们新的理解。
