本文主要总结一些关于weyl semimetal的知识，可能有理解不对的地方，会随时修改。
时间线
- 1928年，Dirac将狭义相对论和量子力学结合起来写出了 Dirac equation：
因为在狭义相对论中，空间时间是等价的关系，即构成一个等价的四维空间，那么考虑相对论效应能量
和动量
应该是线性关系。而在薛定谔方程中
, 不是线性关系，所以薛定谔方程没法描述粒子的相对论效应。基于此，Dirac写出了上述的Dirac equation，quantum field theory 也由此发展了起来。Dirac 方程成功描述了粒子的自旋，并且成功预测了antimatter的存在。由此，dirac 方程也成为了描述相对论电子的基本方程
- 1929年，数学家Hemann weyl将Dirac equation简化，考虑无质量（
）的Dirac equation:
发现它描述的是一对具有确定手性(chirality or handedness)的无质量fermions，这就是我们说的weyl fermion。而无质量的Dirac 电子就是一对手性相反的weyl fermions 的叠加。之后在高能领域，人们一直试图寻找这种weyl fermion，但是一直没能成功。本来人们猜想中微子可能是，但是后来（Kajita, 2016）证明中微子实际上是有质量的。不过最近拓扑绝缘体的和半金属的发展，使得人们在凝聚态中观察到了这种粒子。其中最著名的例子应该是graphene。在graphene的brillouin zone corner 上，人们观察到了能量和momentum的linear关系，也就是说满足Dirac equation。
- 1937年，Ettore Majorana把Dirac equation改写成了real wave equation的形式，发现这种方程描述的是例子的antiparticle是它自身，也叫作Majorana Fermion.
Weyl semimetal
手性反常和外尔半金属
转载自http://blog.sciencenet.cn/blog-600872-906367.html
参考文献：http://www.wuli.ac.cn/CN/abstract/abstract64197.shtml
在真空中的电子，由于存在着时间反演和空间反演对称，处于“左手”和“右手”状态的几率总是相等的。如果在某一个特殊体系中，电子只能处在特定的“左手”或者“右手”状态，那时候狄拉克就会从棺材里爬出来，告诉你这样的体系真的是酷毙了。为什么呢？因为这时候会发生手性反常（即chiral current不守恒），也就是说在相互平行的磁场和电场作用下，具有特定“手性”的电子会被源源不断地产生出来。这当然看起来挺美。那么能否找到某种特殊的晶体，使得它的电子态只能具有某种特定的“手性”呢？两位理论物理学家Nielsen和Ninomiya早在80年代就从数学上给出了证明，即这是不可能的，任何在周期晶格中运动的粒子，相反手性的外尔费米子态总是成对出现的。这个结论是数学上的严格结果，称为“No－go”定理，看到这里永远追求新奇物质态的科学家们一定会失望了，但是，虽然外尔费米子总是成对出现，它们在动量空间却可以被分开。
Nielsen和Ninomiya进一步指出，在某类晶体中，如果无简并的能带在动量空间某处相交，而交点（外尔点）的能量又恰好在费米能级附近，那么这类晶体中电子的低能运动就可以用外尔方程来描写，也可以说在这类晶体中出现了具有某种“手性”的外尔费米子，相应的材料就被称为是外尔半金属。在这类材料中，手性相反的外尔点成对出现在不同的k点，在相互平行的电场和磁场驱动下，电子会在“左手”外尔点处不断消失，而在“右手”外尔点处不断涌现，从而形成一种电磁场共同驱动的，只能沿着磁场方向发生的特殊电子输运模式（？）。这种输运方式的最终后果，就是当电流和磁场方向平行时导致很大的负磁阻，这可以看成是“手性”反常在凝聚态物质中的体现。当然Nielsen和Ninomiya只是证明了外尔费米子态在晶体中是可能出现的，要找出具体实现它的材料就不那么容易了。
Weyl费米子在固体能带结构中广泛存在。但是这些金属的费米面非常复杂，很难将Weyl费米子的贡献分离出来。因此发现费米面仅仅由Weyl费米子或能带交叉点构成的实际材料成了众多研究者竞相实现的目标。由于这样的金属态费米面上的态密度为零，因此也被称为 Weyl 半金属。2011年，万贤纲等人通过理论计算提出，烧绿石结构的铱氧化物可能是磁性 Weyl 半金属[7]。同一年，徐刚等人理论预言铁磁尖晶石HgCr2Se4也是Weyl半金属[8]。它们都破缺时间反演，使得手性相反的Weyl费米子不再重叠。
除了前面重点介绍的手性反常以外，外尔半金属还有一些其他的奇特物理性质。比如说你可以把贝里曲率看作动量空间的“磁场”，那么外尔点就是一个“磁单极子”，这一点是在2003年被提出的，是我的搭档方忠童鞋的成名作之一（铁磁金属中的Weyl费米子贡献了反常霍尔效应的内禀部分）。此外，外尔半金属还具有非常奇葩的表面态特性，即由表面态形成的费米面是不连续的一系列线段，称为费米弧（Fermi Arc）。这些费米弧连接着体内外尔点在表面上的投影点，是外尔半金属的另一个重要特征。
但是，对于实验研究来说，前面提到的两类材料有一个很要命的缺点，即都是磁性材料，总不可避免地存在磁畴，从而使得许多外尔半金属的重要特性，如刚才介绍的手性反常和费米弧等，很难在实验上被观测到。因此发现非磁性的外尔半金属材料，成为该领域发展的关键。今年初，我所在的物理所理论室T03组和普林斯顿大学Bernevig教授等人合作，终于一口气找到了四种非磁性的外尔半金属材料，TaAs、TaP、NbAs和NbP（Phys. Rev. X 5, 011029，2015）。不同于以往的理论方案，这一系列材料能自然合成，无需进行掺杂等细致繁复的调控。更重要的是，这类材料break中心反演但保持时间反演对称，因此没有磁性材料带来的磁畴等复杂性，也可以用角分辨光电子能谱(ARPES)实验来直接观测。
weyl node is stable and accidental degeneracy
在半金属中，Weyl nodes（touching points）对于小的微扰是robust 的。
不过我们首先需要考虑一下band degeneracy。我们知道symmetry通常会引起band 的degeneracy，比如spin rotation symmetry存在的情况下会出现double degeneracy 的bands。另外一种情况是time reversal symmetry 和inversion symmetry
同时存在的情况下也会出现double degenerate的bands。不过如果只有
存在，那么bands 就是generally nondegenerate的。只有在time reversal inviarant momenta（TRIM）处，也即
处，才有degeneracy，也叫Kramers degeneracy。
proof：
由上面的公式可以知道，体系在处有一个能量为
的态。
更多关于时间反演对称性的内容可以参考这篇知乎文章：https://zhuanlan.zhihu.com/p/56202739）
同样的，对于只存在inversion symmetry，而time reversal symmetry 破缺的情况下，能带也是generally nondegenerate。
当上述这些generally nondegenerate的bands 发生cross 的时候会出现accidental degeneracy，这些touching points就是weyl nodes。
一般在能带论中，能带交叉点很容易由于一个很小的扰动而打开一个能隙，使得交叉点消失。但是在三维情况下，比较特殊的是小的扰动不可能打开一个能隙，而只能使得Weyl点发生一点能量上的移动而已。因此可以说Weyl点是被保护着的，从而 Weyl 费米子的激发也是被保护的。这个保护性可以简单地理解为:Weyl 半金属中两个能带产生了一个二能级系统，可以用
Pauli 矩阵来描述 ，其 Hamiltonian 可以写成
。由于只有三个 Pauli 算子被用于 Weyl 半金属三个动量分量上了(pauli matrix 对于二能级系统是完备的)。任何其他引入的扰动项必然通过 Pauli 算子耦合进入系统，因此扰动项必然可以重新写成
,也就是说能量零点发生了平移，但是Weyl点依然存在在
处。
另外一种理解这个保护性的角度是 Berry 相的拓扑非平庸性。我们对不同Weyl 点附近的 Berry 曲率 作一个面积分，并得到拓扑不变量(winding number) , 这个不变量可以叫做手征荷，一对正负相反的手征荷存于相空间中不同位置，就像一对正负磁荷相反的磁单极子一样。一对拓扑非平庸的 Weyl 点是从拓扑平庸的相空间中相互分离出来的。换句话说，如果希望消灭掉一个Weyl点必须要用一个和它相反的 Weyl 点进行融合，并一同湮灭。
引用自：https://www.zhihu.com/question/28668638
费米弧（fermi arc）
weyl semimetal有三个主要的特性：linear dispersion，fermi arc，chiral anomaly。
关于线性色散不展开讲了，具体参看：https://www.zhihu.com/question/28668638。下面主要介绍一下fermi arc surface states。
在拓扑绝缘体中，surface states是一个非常重要的概念，当体带打开带隙，我们就会发现带隙中有gapless well-defined surface states，连接gap两端的bulk states。当费米面处于带隙中，体系的物理主要由表面态决定。但是对于weyl semimetal，bulk states也是gapless 的，因此不管你如何调节费米面体带和表面态会同时被切到并贡献（当刚好切到Dirac点时，理论上体带态密度为零可视为无贡献，但实际情况下在Dirac附近热涨落量子涨落等效应明显，体带也不可完全忽略）。这样我们就很难定义weyl semimetal的surface states。
