第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度 —— 以圆周运动为例--by--费世煌

自然坐标系是固定在物体上的坐标系

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速率变速圆周运动的加速度，向心加速度（改变速度的方向）
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e_n}$
- 直线运动的加速度，切向加速度 (改变速率的大小)
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e_t}$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e_n}\vec{a}_t+\frac{dv}{dt}\vec{e_t}$
  - $\vec{v(t)}=v(t)\vec{e_t}$ 总可以写成速度的大小乘以方向
  - $\vec{a(t)}=\frac{d \vec{v(t)}}{dt}=\frac{dv(t)}{dt}\vec{e_t}+v(t)\frac{d\vec{e_t}}{dt}$
  - $d\vec{e_t}=\vec{e_{t1}}-\vec{e_{t2}}=d\theta\; \vec{e_n}$
  - 时间很小的时候，弦长近似于弧长
  - $\vec{a}_{t}$ 是改变运动的速度的加速度
  - 法向加速度是具有方向，是在圆周运动中一定改变的
  - 切向加速度是不一定改变的，因为存在匀速加速运动
  - 一般曲线运动的加速度
  - 曲率圆，曲率半径 $\rho$
  - 曲率半径的直观感受
  - 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：(2)、(3)、(6)、

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：B

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答： $a=\frac{v^2}{\rho}$

$\because 为斜抛运动最高点$

$\therefore a_t=0,且v_1=v_0\cos\theta$

又 $a_n=g,a_t=0$

$g=\frac{v_1^2}{\rho}$ ,则 $\rho(曲率半径)=\frac{v_0^2}{g}$

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答：

$\vec{r}=t\vec{i}+\frac{1}{2}t^2\vec{j}$

$\Longrightarrow\vec{v}=\vec{i}+t\vec{j}$

又， $v=|\vec{v}|=\sqrt{1+t^2}$

$\because |a|=\sqrt{a_{n}^2+a_{t}^2}$ ,且 $a_t=v^\prime=\frac{t}{\sqrt{1+t^2}}$

则 $a_t=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\therefore \vec{a}=\vec{v}^\prime=0+\vec{j}$

又 $a=|\vec{a}|=1$ ,则 $a_n=\sqrt{a^2-a_t^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

答：切向加速度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，法向加速度为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答：

当 $t_2=5$ 时，

位矢为 $\vec{r_2}=15\vec{i}-24\vec{j}$

当 $t_1=1$ 时，

位矢为 $\vec{r_1}=3\vec{i}$

因为要求平均速度，所以需要求出 $t_1$ 与 $t_2$ 之间的位矢差

$\vec{r_2}-\vec{r_1}=15\vec{i}-27\vec{j}$

则平均速度 $v=\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}\approx 7.72\;m/s$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos\omega t\ \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答：

$\vec{v}=\vec{r}^\prime=-R\omega \sin\omega t\vec{i}+R\omega \cos\omega t\vec{j}$

$v=\sqrt{(R\omega\sin\omega t)^2+(R\omega\cos\omega t)^2}$

答：质点的速度为 $-R\omega \sin\omega t\vec{i}+R\omega \cos\omega t\vec{j}$ ，和速率为 $\sqrt{(R\omega\sin\omega t)^2+(R\omega\cos\omega t)^2}$ 。

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答： $\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}$

$\vec{v}=\vec{r}^\prime=((-10t+30t^2)\vec{i}+(15t-20t^2)\vec{j})^\prime=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}$

$v=\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}$

加速度为 $\vec{a}=\vec{v}^\prime=60\vec{i}-40\vec{j}$ 。

综上所述：速度为 $(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}$ ，速率为 $\sqrt{(-10+60t)^2+(15-40t)^2}$ ，加速度为 $60\vec{i}-40\vec{j}$ 。

最后编辑于：2019.03.10 22:03:03

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